Cho tam giác ABC vuông tại A,D thuộc BC.GỌi E là điểm đối xứng D qua AB,gọi F là điểm đối xứng D qua AC.CMR: điểm E và F đối xứng với nhau qua A
Gọi giao điểm của DE với AB là G, của BF với AC là H
Vì D đối xứng với E qua AB nên AB là đường trung trực của DE hay AB [tex]\dpi{100} \perp[/tex] DE
Vì D đối xứng với F qua AC nên AC là đường trung trực của DF hay AC [tex]\dpi{100} \perp[/tex] DF
Tứ giác AGDH có 3 góc vuông => AGDH là hình chữ nhật
=> DH = AG; DG = AH
Vì AB là đường trung trực của DE nên DG = EG
Vì AC là đường trung trực của DF nên DH = FH
Tam giác AGE vuông tại G => [tex]\dpi{100} \widehat{GEA}+\widehat{GAE}=90^o[/tex]
Xét [tex]\dpi{100} \Delta EGAand\Delta FHA[/tex]:
EG = AH (=DG)
[tex]\dpi{100} \widehat{EGA}=\widehat{AHF}(=90^o)[/tex]
GA = HF (=DH)
=> [tex]\dpi{100} \Delta EGA=\Delta FHA[/tex](c.g.c)
=> EA = AF (cạnh tương ứng) (1)
=> [tex]\dpi{100} \widehat{GEA}=\widehat{HAF}[/tex] (góc tương ứng)
[tex]\dpi{100} \widehat{EAF}=\widehat{EAG}+\widehat{HAF}+\widehat{GAH}\\=\widehat{EAG}+\widehat{GEA}+\widehat{GAH}\\=90^o+90^o\\=180^o[/tex]
=> E, A, F thẳng hàng và A nằm giữa E và F (2)
Từ (1) và (2) => A là trung điểm của EF hay E và F đối xứng với nhau qua điểm A
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
