định lí Ceva và định lí Menelaus

[su10112000a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mấy hôm trước mình thấy bạn tensa_zangetsu có đăng một bài về đẳng thức Ptolemy nhưng đẳng thức này lớp 8 vẫn chưa áp dụng mấy. Vì vậy mình sẽ đăng một bài về định lí Ceva và định lí Menelaus.
C/m định lí Ceva
Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB.
a/ C/m nếu các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm thì
$\frac{AF}{FB}$ . $\frac{BD}{DC}$ . $\frac{CE}{EA}$ = $1$
b/ C/m nếu $\frac{AF}{FB}$ . $\frac{BD}{DC}$ . $\frac{CE}{EA}$ = $1$ thì các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm
C/m định lí Menelaus
Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB.
a/ C/m nếu D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi $\frac{FA}{FB}$ . $\frac{DB}{DC}$ . $\frac{EC}{EA}$ =$1$
b/ C/m nếu $\frac{FA}{FB}$ . $\frac{DB}{DC}$ . $\frac{EC}{EA}$ =$1$ thì D, E, F thẳng hàng

 

[huynhbachkhoa23]

Định lý Menelaus: http://vi.wikipedia.org/wiki/Định_lý_Menelaus

=)) =)) =))

 

[su10112000a]

bạn nên tự chứng minh theo hướng suy nghĩ của bạn, nếu chứng minh theo cách này thì đến định lí đã dược chứng minh mà lên lớp 12 hay đại học mới học thì mình cũng chứng minh được
@-)@-)@-)

 

[huynhbachkhoa23]

Chứng minh định lý Ceva thuận

$\dfrac{S_{BOD}}{S_{DOC}}=\dfrac{S_{BAD}}{S_{DAC}}=\dfrac{S_{BOA}}{S_{AOC}}=\dfrac{BD}{DC}$

Tương tự:
$\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{S_{BOC}}{S_{BOA}}$

$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{S_{AOC}}{S_{BOC}}$

Nhân lại:

$\dfrac{BD.EC.AF}{CD.EA.FB}=\dfrac{S_{BOA}.S_{BOC}.S_{AOC}}{S_{AOC}.S_{BOA}.S_{BOC}}=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Chứng minh Ceva đảo:

Tam giác $ABC$ có $D, E, F$ lần lượt thuộc $BC, CA, AB$ thoả mãn $\dfrac{BD.EC.AF}{DC.EA.FB}=1$ $(1)$

Gọi giao điểm của $AD$ và $BE$ là $O$

Gọi giao điểm của $CO$ và $AB$ là $F^{,}$

Theo phần thuận đã chứng minh, có $\dfrac{BD.EC.AF^{,}}{DC.EA.F^{,}B}=1$

Kết hợp với $(1)$ có $\dfrac{AF^{,}}{F^{,}B}=\dfrac{AF}{FB}$

$\leftrightarrow \dfrac{AB-F^{,}B}{F^{,}B}=\dfrac{AB-FB}{FB}$

Hay $\dfrac{AB}{F^{,}B}=\dfrac{AB}{FB}$ $\leftrightarrow F^{,}B=FB$

$\leftrightarrow F \equiv F^{,}$

Vậy $AD, BE, CF$ đồng quy.

Định lý được chứng minh. =))

Cũng có thể áp dụng một định lý quen thuộc để chứng minh nhanh hơn: Cho đoạn thẳng $AB$ và số $k(k \ge 0)$ cho trước. Chỉ chọn được duy nhất một điểm $I$ sao cho $\dfrac{AI}{BI}=k$