Toán 10 đề toán hsg 10 năm 2011 - 2012

[phong sky]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

n
các anh các chị ơi nhờ giúp em câu 1b , 2 và 3b được không ạ , câu bdt em k dám cầu luôn

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

1) Lấy phương trình (1) nhân với 5 rồi trừ cho phương trình (2) nhân với 3 ta được
$5x^2+2(3y-8)x-8y^2+10y+3=0$
$$\Leftrightarrow (5x-4y-1)(x+2y-3)=0$$
Tới đây tính x theo y rồi thay vào giải

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

2) Ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau
Cho m,n,p là các số thực thỏa mãn m+n,n+p,m+p và mn+np+pm là các số không âm. Đặt a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và S là diện tích tam giác. Khi đó
$$ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}S$$
Chứng minh: Theo định lí Cosines, ta có
$$ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}S$$
$$\Leftrightarrow ma^2+nb^2+p(a^2+b^2-2abcosS)\ge 2ab.sinC\sqrt{mn+np+mp}$$
$$\Leftrightarrow (m+p)\frac{a}{b}+(n+p)\frac{a}{b}\geq 2(\sqrt{mn+np+mp}sinC+pcosC)$$
Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
$(\sqrt{mn+np+mp}sinC+pcosC)^2\le (p^2+mn+np+mp)(sin^2C+cos^2C)=(m+p)(n+p)$
Mặt khác $$[(m+p)\frac{a}{b}+(n+p)\frac{b}{a}]^2\geq 4(m+p)(n+p)$$
Do đó $$ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}S$$
Hoàn tất chứng minh.

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

A là giao điểm của $2x-y+7=0$ và $3x-y+8=0$
Suy ra $A(-1;5)$
Kẻ $MN$ vuông góc với $AC$ (với $N \in AC$)
Suy ra $N(-\frac{17}{20},\frac{109}{20})$
Gọi $MN$ cắt $AB$ tại $P$
Ta tìm được $P(-\frac{11}{14},\frac{38}{7})$
Gọi $K$ là trung điểm $AP$
Suy ra $K( -\frac{25}{28},\frac{73}{14})$
Vậy $NK$ phải song song với $BC$
Mà Phương trình đường thẳng $NK$ là $\frac{33}{140}x-\frac{3}{70}y=-\frac{243}{560}$
Suy ra $B(-\frac{43}{7},-\frac{37}{7})$ và $C(-\frac{41}{5},-\frac{83}{5})$
Suy ra $D(-\frac{107}{35},-\frac{221}{35})$
Vậy phương trình đường thẳng $CD$ là $y=2x-\frac{1}{5}$