2) Ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau
Cho m,n,p là các số thực thỏa mãn m+n,n+p,m+p và mn+np+pm là các số không âm. Đặt a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC và S là diện tích tam giác. Khi đó
[tex]ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}S[/tex]
Chứng minh: Theo định lí Cosines, ta có
[tex]ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}S[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ma^2+nb^2+p(a^2+b^2-2abcosS)\ge 2ab.sinC\sqrt{mn+np+mp}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (m+p)\frac{a}{b}+(n+p)\frac{a}{b}\geq 2(\sqrt{mn+np+mp}sinC+pcosC)[/tex]
Sử dụng Cauchy-Schwarz, ta có:
$(\sqrt{mn+np+mp}sinC+pcosC)^2\le (p^2+mn+np+mp)(sin^2C+cos^2C)=(m+p)(n+p)$
Mặt khác [tex][(m+p)\frac{a}{b}+(n+p)\frac{b}{a}]^2\geq 4(m+p)(n+p)[/tex]
Do đó [tex]ma^2+nb^2+pc^2\geq 4\sqrt{mn+np+pm}S[/tex]
Hoàn tất chứng minh.