Đề thi HSG TP. Hà Nội năm 2010-2011

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi ngomaithuy93, 16 Tháng mười 2010.

Lượt xem: 6,347

  1. ngomaithuy93

    ngomaithuy93 Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Bài I (6đ)
    1. Giải hpt: [TEX]\left{{x^2+y^2+1=2x+2y}\\{(2x-y-2)y=1}[/TEX]
    2. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hê bpt sau có nghiệm:
    [TEX] \left{{x^2-7x-8<0}\\{a^2x>(3a-2)x+2}[/TEX]

    Bài II (4đ)
    1. Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh, [TEX]h_a, h_b, h_c [/TEX] là độ dài các đường cao tương ứng và R là bán kính đtròn ngoại tiếp.
    CMR:[TEX] (ab+bc+ca)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}) \geq 18R[/TEX]
    2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của ba chữ số còn lại là 3 đơn vị?

    Bài III.(4đ)
    1. CMR có duy nhất một điểm thuộc đthị (C) của hàm số [TEX]y=x^3-3x^2+2[/TEX] mà qua mỗi điểm đó chỉ kẻ đc 1 tiếp tuyến với (C).
    2. Tìm tất cả các g.trị của x sao cho ứng với các g.trị đó h/s sau đạt GTLN, NN:
    [TEX] y=sin^5x-3sin^4x+sin^3xcos^2x-3sin^2xcos^2x+2[/TEX]

    Bài IV (2đ)
    Cho dãy số [TEX](u_n): u_n=\frac{4n+1}{2^n}[/TEX].
    Thành lập dãy [TEX](s_n)[/TEX] với [TEX]s_1=u_1, s_2=u_1+u_2, ...s_n=u_1+u_2+...+u_n[/TEX]. Tìm [TEX]lim s_n[/TEX]

    Bài V. (4đ)
    Trong mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB và M là điểm tùy ý trên đoạn OB (M khác B).
    Trên cùng nửa mặt phẳng (P) dựng các hình vuông AMCD và MBEF.
    Điểm S thuộc đ/t vg góc với (P) tại A (S khác A).
    1. Xđ vị trí của M để tổng thể tích của 2 khối chóp S.ABF và S.ACF đạt GTNN.
    2. Đ/t AF cắt đ/t BC tại N. Điểm H là hình chiếu vg góc của S trên đ/t MN.
    Tìm quỹ tích của H khi M di chuyển trên OB.

    Đề ko khó nên đề nghị mọi người giải chi tiết, cho đáp số cụ thể! :)
     
  2. lagrange

    lagrange Guest

    Bài I (6đ)
    1. Giải hpt: [TEX]\left{{x^2+y^2+1=2x+2y}\\{(2x-y-2)y=1}[/TEX]
    [tex]<=>\left\begin\{x^2+2xy-4y-2x=0\\{2xy-y^2-2y-1=0}[/tex]
    [tex]<=>\left\begin\{(x+2y)(x-2)=0\\{2xy-y^2-2y-1=0}[/tex]
    [tex]<=>\left\begin\{x=2\\{(y-1)^2=0}[/tex]
    tóm lại hệ có nghiệm duy nhất
    [tex]\left\begin\{x=2\\{y=1}[/tex]
     
  3. lagrange

    lagrange Guest

    2. Tìm tất cả các g.trị của x sao cho ứng với các g.trị đó h/s sau đạt GTLN, NN:
    [TEX] y=sin^5x-3sin^4x+sin^3xcos^2x-3sin^2xcos^2x+2[/TEX]
    [tex]<=>y=sin^4x(sinx-3)+sin^2xcos^2x(sinx-3)+2[/tex]
    [tex]<=>y=(sinx-3)(sin^4x+sin^2xcos^2x)+2[/tex]
    [tex]<=>y=(sinx-3)(sin^2x)+2[/tex]
    [tex]<=>y=sin^3x-3sin^2x+2[/tex]
    đặt t=sinx;[tex]t \in [-1;1][/tex]
    [tex]<=>y=t^3-3t^2+2[/tex]
    [tex]<=>y'=3t^2-6t<=>y'=0<=>t=0;t=2[/tex]
    [tex]y(-1)=-2;y(0)=2;y(1)=0[/tex]
    [tex]=>max=2;t=0=>sinx=0=>x=kpi[/tex]
    [tex]=>min=-2;t=-1=>sinx=-1[/tex]
     
  4. duynhan1

    duynhan1 Guest

    [TEX]\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c) \ge 36RS =9abc[/TEX] ( đúng theo Cauchy)
     
  5. duynhan1

    duynhan1 Guest

    [TEX]abcdef[/TEX] là số cần tìm.

    [TEX]a+b+c+d+e+f = 1+2+3+4+5+6[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)+(a+b+c+3) = 21[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow a+b+c = 9 [/TEX]

    [TEX]\Rightarrow (a;b;c) \in (1;2;6) ; ( 1;3;5) ;(2;3;4) [/TEX]

    Tổng số cách xếp là :
    [TEX]3. 3!.3! = 108[/TEX] cách
     
  6. lagrange

    lagrange Guest

    1. CMR có duy nhất một điểm thuộc đthị (C) của hàm số [TEX]y=x^3-3x^2+2[/TEX] mà qua mỗi điểm đó chỉ kẻ đc 1 tiếp tuyến với (C).
    gọi [tex]M(x_{o};y_{o})[/tex] thuộc (C)
    pt tuyến tuyến tại M có dạng
    [tex]y-y_{o}=f'(x_{o})(x-x_{o})[/tex]
    [tex]<=>y-x_{o}^3+3x_{o}^2-2=(3x_{o}^2-6x_{o})(x-x_{o})[/tex]
    pt hoành độ giao điểm (C) và (d)
    [tex]<=>x^3-x_{o}^3-3(x^2-x_{o}^2)-(3x_{o}^2-6x_{o})(x-x_{o})=0[/tex]
    [tex]<=>\left\begin\[{x=x_{o}\\{x^2+(x_{o}-3)x-2x_{o}^2+3x_{o}=0}(2)[/tex]
    từ M kẻ duy nhất 1 tiếp tuyến => pt (2) phải có 1 nghiệm kép [tex]=x_{o}[/tex]
    [tex]\left\begin\{\frac{3-x_{o}}{2}=x_{o}\\{x_{o}^2-2x_{o}+1=0}[/tex]
    [tex]=>x_{o}=1;y_{o}=0[/tex]
     
  7. lagrange

    lagrange Guest

    1. Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh, [TEX]h_a, h_b, h_c [/TEX] là độ dài các đường cao tương ứng và R là bán kính đtròn ngoại tiếp.
    CMR:[TEX] (ab+bc+ca)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}) \geq 18R[/TEX]
    [tex]S=\frac{1}{2}h_{a}a=>\frac{1}{h_{a}}=\frac{a}{2S}[/tex]
    [tex]=>\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a+b+c}{2S}[/tex]
    [tex]S=\frac{abc}{4R}=>R=\frac{abc}{4S}[/tex]
    biểu thức cần chứng minh
    [tex]<=>(ab+bc+ca)(a+b+c) \ge 9abc[/tex]
    [tex]ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
    [tex]a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}[/tex]
    nhân 2 vế lại => dpcm làm vậy mới rõ ràng chứ
     
  8. acsimet_91

    acsimet_91 Guest

    Bài dãy ban Duynhan tách sai rồi kìa
    xem lại đi :):):):):):):)
    ================================================
     
  9. acsimet_91

    acsimet_91 Guest

     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng mười 2010
  10. duynhan1

    duynhan1 Guest

    [TEX]2^n u_n = 2^{n-1}u_{n-1}+4 [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow u_n = \frac12 u_{n-1} + \frac{1}{2^{n-2}} [/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow u_n -\frac{n}{2^{n-1}} = \frac12 (u_{n-1}- \frac{n-1}{2^{n-2}) [/TEX]

    Đặt [TEX]v_n=u_n -\frac{n}{\frac{2^{n-1}}[/TEX]

    [TEX]\Rightarrow (v_n)[/TEX] là cấp số nhân với : [TEX]\left{ v_1 = \frac52 -1 = \frac32 \\ q = \frac12 [/TEX]

    [TEX]\huge S_n = \frac{4n}{2^{n-1}} + (v_1+v_2+...+v_n) = \frac{4n}{2^{n-1}} + \frac{3}{2}. \frac{1-(\frac12)^n}{1-\frac12} \\ = \frac{8n-3}{2^n} + 3[/TEX]

    Mà [TEX]lim\frac{8n-3}{2^n} = 0 \Rightarrow lim S_n = 3 [/TEX]
    . .
     
  11. acsimet_91

    acsimet_91 Guest

    Bài 4
    1.ý này dễ nên tớ vào chém cùng các cao thủ vây
    tớ ko biết vẽ hình.các bạn thông cảm nha


    Gọi h là khoảnh cách tư S đến (P)
    V(ABF)+V(ACF)=1/6h(đtACM +dtMBEF)=1/6h(AM.AM+MB.MB)
    Ap dụng Bunhiacopxki
    ------->(AM.AM+MB.MB).2\geq(AM+MB).(AM+MB)=AB.AB
    dẲNG THỨC XẢY RA <=>MA=MB <=>M là trung điểm AB
    :):):):):):):):):):)
     
    Last edited by a moderator: 17 Tháng mười 2010
  12. ngomaithuy93

    ngomaithuy93 Guest

    [TEX] s_n=\frac{9.2^n-4n-9}{2^n}[/TEX]
    :confused:
    .
     
  13. don12a2

    don12a2 Guest

    [tex]u_1[/tex]=5/2
    [tex]u_2[/tex]=9/4
    [tex]u_3[/tex]=13/8....

    ta có: [tex]2u_1[/tex]+[tex]8u_3[/tex]=[tex]2.4u_2[/tex]
    \Rightarrow [tex]u_1[/tex]+[tex]4u_3[/tex]=[tex]4u_2[/tex]
    tương tự :[tex]u_2[/tex]+[tex]4u_4[/tex]=[tex]4u_3[/tex]
    ...
    [tex]u_n[/tex]+[tex]4u_{n+2}[/tex]=[tex]4u_{n+1}[/tex]
    cộng lại từng vế \Rightarrow [tex]s_n[/tex]=[tex]4u_2[/tex]-[tex]4u_{n+2}[/tex]
    \Rightarrow[tex]s_n[/tex]=4.9/4-4.[4(n+2)+1]/[tex]2^{n+2}[/tex]
    \Rightarrow[TEX] s_n=\frac{9.2^n-4n-9}{2^n}[/TEX]
    LimSn=9:D:D:D
     
  14. ngomaithuy93

    ngomaithuy93 Guest

    [TEX]s_n=\frac{4.1+1}{2^1}+\frac{4.2+1}{2^2}+...+\frac{4n+1}{2^n}[/TEX]
    [TEX]= (\frac{4.1+1}{2^1}+\frac{4.2+1}{2^2}+...+\frac{4n+1}{2^n})+(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n})[/TEX]

    [TEX] A=\frac{4.1}{2^1}+\frac{4.2}{2^2}+...+\frac{4n}{2^n}[/TEX]
    [TEX]\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{4.1}{2^2}+\frac{4.2}{2^3} +...+ \frac{4n}{2^{n+1}[/TEX]
    [TEX] \Rightarrow A-\frac{A}{2}= \frac{4.1}{2^1}+\frac{4}{2^2}+...+\frac{4}{2^n}-\frac{4n}{2^{n+1}}[/TEX]
    [TEX] \Rightarrow A=\frac{4.1}{2^0}+\frac{4}{2^1}+...+\frac{4}{2^{n-1}}-\frac{4n}{2^n}[/TEX]
    \Rightarrow A, B
    [TEX] s_n=A+B[/TEX]
     
  15. [TEX]he\Leftrightarrow{\left{-1<x<8\\x(a^2-3a+2)>2[/TEX]
    [TEX]*a^2-3a+2=0\Rightarrow{he\ \ :VN[/TEX]

    [TEX]*[/TEX] Để hệ có nghiệm:[TEX]\left[a^2-3a+2>0,\frac{2}{a^2-3a+2}<8\\a^2-3a+2<0,\frac{2}{a^2-3a+2}>-1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[a^2-3a+2>\frac{1}{4}\\a^2-3a+2<-2[/TEX]
     
  16. catsanda

    catsanda Guest

    bạn ơi người ta kiu là chứng minh mà đâu có phải là tìm điểm đó đâu
     
  17. ngomaithuy93

    ngomaithuy93 Guest

    Chứng minh là chỉ y/c c/m có điểm duy nhất thôi! :)
    Vẫn phải tìm điểm mà cậu! :)
     
  18. hunggary

    hunggary Guest

    ớ......nhưng chỗ này bạn ấy lại sử dụng đk từ M kẻ đc đường duy nhất mất rồi còn đâu.....chưa CM mà đã dùng để tìm là sao
     
  19. don12a2

    don12a2 Guest

    đâu fai the, đây là tìm điểm đó chứ :khi (55)::khi (55)::khi (55)::khi (55):
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->