Đề thi HSG TP. Hà Nội năm 2010-2011

N

ngomaithuy93

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài I (6đ)
1. Giải hpt: [TEX]\left{{x^2+y^2+1=2x+2y}\\{(2x-y-2)y=1}[/TEX]
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hê bpt sau có nghiệm:
[TEX] \left{{x^2-7x-8<0}\\{a^2x>(3a-2)x+2}[/TEX]

Bài II (4đ)
1. Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh, [TEX]h_a, h_b, h_c [/TEX] là độ dài các đường cao tương ứng và R là bán kính đtròn ngoại tiếp.
CMR:[TEX] (ab+bc+ca)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}) \geq 18R[/TEX]
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của ba chữ số còn lại là 3 đơn vị?

Bài III.(4đ)
1. CMR có duy nhất một điểm thuộc đthị (C) của hàm số [TEX]y=x^3-3x^2+2[/TEX] mà qua mỗi điểm đó chỉ kẻ đc 1 tiếp tuyến với (C).
2. Tìm tất cả các g.trị của x sao cho ứng với các g.trị đó h/s sau đạt GTLN, NN:
[TEX] y=sin^5x-3sin^4x+sin^3xcos^2x-3sin^2xcos^2x+2[/TEX]

Bài IV (2đ)
Cho dãy số [TEX](u_n): u_n=\frac{4n+1}{2^n}[/TEX].
Thành lập dãy [TEX](s_n)[/TEX] với [TEX]s_1=u_1, s_2=u_1+u_2, ...s_n=u_1+u_2+...+u_n[/TEX]. Tìm [TEX]lim s_n[/TEX]

Bài V. (4đ)
Trong mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB và M là điểm tùy ý trên đoạn OB (M khác B).
Trên cùng nửa mặt phẳng (P) dựng các hình vuông AMCD và MBEF.
Điểm S thuộc đ/t vg góc với (P) tại A (S khác A).
1. Xđ vị trí của M để tổng thể tích của 2 khối chóp S.ABF và S.ACF đạt GTNN.
2. Đ/t AF cắt đ/t BC tại N. Điểm H là hình chiếu vg góc của S trên đ/t MN.
Tìm quỹ tích của H khi M di chuyển trên OB.

Đề ko khó nên đề nghị mọi người giải chi tiết, cho đáp số cụ thể! :)
 
L

lagrange

Bài I (6đ)
1. Giải hpt: [TEX]\left{{x^2+y^2+1=2x+2y}\\{(2x-y-2)y=1}[/TEX]
[tex]<=>\left\begin\{x^2+2xy-4y-2x=0\\{2xy-y^2-2y-1=0}[/tex]
[tex]<=>\left\begin\{(x+2y)(x-2)=0\\{2xy-y^2-2y-1=0}[/tex]
[tex]<=>\left\begin\{x=2\\{(y-1)^2=0}[/tex]
tóm lại hệ có nghiệm duy nhất
[tex]\left\begin\{x=2\\{y=1}[/tex]
 
L

lagrange

2. Tìm tất cả các g.trị của x sao cho ứng với các g.trị đó h/s sau đạt GTLN, NN:
[TEX] y=sin^5x-3sin^4x+sin^3xcos^2x-3sin^2xcos^2x+2[/TEX]
[tex]<=>y=sin^4x(sinx-3)+sin^2xcos^2x(sinx-3)+2[/tex]
[tex]<=>y=(sinx-3)(sin^4x+sin^2xcos^2x)+2[/tex]
[tex]<=>y=(sinx-3)(sin^2x)+2[/tex]
[tex]<=>y=sin^3x-3sin^2x+2[/tex]
đặt t=sinx;[tex]t \in [-1;1][/tex]
[tex]<=>y=t^3-3t^2+2[/tex]
[tex]<=>y'=3t^2-6t<=>y'=0<=>t=0;t=2[/tex]
[tex]y(-1)=-2;y(0)=2;y(1)=0[/tex]
[tex]=>max=2;t=0=>sinx=0=>x=kpi[/tex]
[tex]=>min=-2;t=-1=>sinx=-1[/tex]
 
D

duynhan1

ngomaithuy93 said:
Bài II (4đ)
1. Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh, [TEX]h_a, h_b, h_c [/TEX] là độ dài các đường cao tương ứng và R là bán kính đtròn ngoại tiếp.
CMR:[TEX] (ab+bc+ca)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}) \geq 18R[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c) \ge 36RS =9abc[/TEX] ( đúng theo Cauchy)
 
D

duynhan1

ngomaithuy93 said:
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đc bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó tổng của ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của ba chữ số còn lại là 3 đơn vị?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]abcdef[/TEX] là số cần tìm.

[TEX]a+b+c+d+e+f = 1+2+3+4+5+6[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)+(a+b+c+3) = 21[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a+b+c = 9 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a;b;c) \in (1;2;6) ; ( 1;3;5) ;(2;3;4) [/TEX]

Tổng số cách xếp là :
[TEX]3. 3!.3! = 108[/TEX] cách
 
L

lagrange

1. CMR có duy nhất một điểm thuộc đthị (C) của hàm số [TEX]y=x^3-3x^2+2[/TEX] mà qua mỗi điểm đó chỉ kẻ đc 1 tiếp tuyến với (C).
gọi [tex]M(x_{o};y_{o})[/tex] thuộc (C)
pt tuyến tuyến tại M có dạng
[tex]y-y_{o}=f'(x_{o})(x-x_{o})[/tex]
[tex]<=>y-x_{o}^3+3x_{o}^2-2=(3x_{o}^2-6x_{o})(x-x_{o})[/tex]
pt hoành độ giao điểm (C) và (d)
[tex]<=>x^3-x_{o}^3-3(x^2-x_{o}^2)-(3x_{o}^2-6x_{o})(x-x_{o})=0[/tex]
[tex]<=>\left\begin\[{x=x_{o}\\{x^2+(x_{o}-3)x-2x_{o}^2+3x_{o}=0}(2)[/tex]
từ M kẻ duy nhất 1 tiếp tuyến => pt (2) phải có 1 nghiệm kép [tex]=x_{o}[/tex]
[tex]\left\begin\{\frac{3-x_{o}}{2}=x_{o}\\{x_{o}^2-2x_{o}+1=0}[/tex]
[tex]=>x_{o}=1;y_{o}=0[/tex]
 
L

lagrange

1. Cho tam giác ABC có a, b, c là độ dài các cạnh, [TEX]h_a, h_b, h_c [/TEX] là độ dài các đường cao tương ứng và R là bán kính đtròn ngoại tiếp.
CMR:[TEX] (ab+bc+ca)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}) \geq 18R[/TEX]
[tex]S=\frac{1}{2}h_{a}a=>\frac{1}{h_{a}}=\frac{a}{2S}[/tex]
[tex]=>\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a+b+c}{2S}[/tex]
[tex]S=\frac{abc}{4R}=>R=\frac{abc}{4S}[/tex]
biểu thức cần chứng minh
[tex]<=>(ab+bc+ca)(a+b+c) \ge 9abc[/tex]
[tex]ab+bc+ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
[tex]a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}[/tex]
nhân 2 vế lại => dpcm làm vậy mới rõ ràng chứ
 
A

acsimet_91

Bài dãy ban Duynhan tách sai rồi kìa
xem lại đi :):):):):):):)
================================================
 
D

duynhan1

ngomaithuy93 said:
Cho dãy số [TEX](u_n): u_n=\frac{4n+1}{2^n}[/TEX].
Thành lập dãy [TEX](s_n)[/TEX] với [TEX]s_1=u_1, s_2=u_1+u_2, ...s_n=u_1+u_2+...+u_n[/TEX]. Tìm [TEX]lim s_n[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]2^n u_n = 2^{n-1}u_{n-1}+4 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow u_n = \frac12 u_{n-1} + \frac{1}{2^{n-2}} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow u_n -\frac{n}{2^{n-1}} = \frac12 (u_{n-1}- \frac{n-1}{2^{n-2}) [/TEX]

Đặt [TEX]v_n=u_n -\frac{n}{\frac{2^{n-1}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (v_n)[/TEX] là cấp số nhân với : [TEX]\left{ v_1 = \frac52 -1 = \frac32 \\ q = \frac12 [/TEX]

[TEX]\huge S_n = \frac{4n}{2^{n-1}} + (v_1+v_2+...+v_n) = \frac{4n}{2^{n-1}} + \frac{3}{2}. \frac{1-(\frac12)^n}{1-\frac12} \\ = \frac{8n-3}{2^n} + 3[/TEX]

Mà [TEX]lim\frac{8n-3}{2^n} = 0 \Rightarrow lim S_n = 3 [/TEX]
Cái chỗ lim :( sai đừng la em :((
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

. .
 
A

acsimet_91

Bài 4
1.ý này dễ nên tớ vào chém cùng các cao thủ vây
tớ ko biết vẽ hình.các bạn thông cảm nha


Gọi h là khoảnh cách tư S đến (P)
V(ABF)+V(ACF)=1/6h(đtACM +dtMBEF)=1/6h(AM.AM+MB.MB)
Ap dụng Bunhiacopxki
------->(AM.AM+MB.MB).2\geq(AM+MB).(AM+MB)=AB.AB
dẲNG THỨC XẢY RA <=>MA=MB <=>M là trung điểm AB
:):):):):):):):):):)
 
Last edited by a moderator:
N

ngomaithuy93

duynhan1 said:
[TEX]2^n u_n = 2^{n-1}u_{n-1}+4 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow u_n = \frac12 u_{n-1} + \frac{1}{2^{n-2}} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow u_n -\frac{n}{2^{n-1}} = \frac12 (u_{n-1}- \frac{n-1}{2^{n-2}) [/TEX]

Đặt [TEX]v_n=u_n -\frac{n}{\frac{2^{n-1}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (v_n)[/TEX] là cấp số nhân với : [TEX]\left{ v_1 = \frac52 -1 = \frac32 \\ q = \frac12 [/TEX]

[TEX]\huge S_n = \frac{4n}{2^{n-1}} + (v_1+v_2+...+v_n) = \frac{4n}{2^{n-1}} + \frac{3}{2}. \frac{1-(\frac12)^n}{1-\frac12} \\ = \frac{8n-3}{2^n} + 3[/TEX]

Mà [TEX]lim\frac{8n-3}{2^n} = 0 \Rightarrow lim S_n = 3 [/TEX]


. .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX] s_n=\frac{9.2^n-4n-9}{2^n}[/TEX]
:confused:
.
 
D

don12a2

ngomaithuy93 said:
[TEX] s_n=\frac{9.2^n-4n-9}{2^n}[/TEX]
:confused:
.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]u_1[/tex]=5/2
[tex]u_2[/tex]=9/4
[tex]u_3[/tex]=13/8....

ta có: [tex]2u_1[/tex]+[tex]8u_3[/tex]=[tex]2.4u_2[/tex]
\Rightarrow [tex]u_1[/tex]+[tex]4u_3[/tex]=[tex]4u_2[/tex]
tương tự :[tex]u_2[/tex]+[tex]4u_4[/tex]=[tex]4u_3[/tex]
...
[tex]u_n[/tex]+[tex]4u_{n+2}[/tex]=[tex]4u_{n+1}[/tex]
cộng lại từng vế \Rightarrow [tex]s_n[/tex]=[tex]4u_2[/tex]-[tex]4u_{n+2}[/tex]
\Rightarrow[tex]s_n[/tex]=4.9/4-4.[4(n+2)+1]/[tex]2^{n+2}[/tex]
\Rightarrow[TEX] s_n=\frac{9.2^n-4n-9}{2^n}[/TEX]
LimSn=9:D:D:D
 
N

ngomaithuy93

don12a2 said:
[tex]u_1[/tex]=5/2
[tex]u_2[/tex]=9/4
[tex]u_3[/tex]=13/8....

ta có: [tex]2u_1[/tex]+[tex]8u_3[/tex]=[tex]2.4u_2[/tex]
\Rightarrow [tex]u_1[/tex]+[tex]4u_3[/tex]=[tex]4u_2[/tex]
tương tự :[tex]u_2[/tex]+[tex]4u_4[/tex]=[tex]4u_3[/tex]
...
[tex]u_n[/tex]+[tex]4u_{n+2}[/tex]=[tex]4u_{n+1}[/tex]
cộng lại từng vế \Rightarrow [tex]s_n[/tex]=[tex]4u_2[/tex]-[tex]4u_{n+2}[/tex]
\Rightarrow[tex]s_n[/tex]=4.9/4-4.[4(n+2)+1]/[tex]2^{n+2}[/tex]
\Rightarrow[TEX] s_n=\frac{9.2^n-4n-9}{2^n}[/TEX]
LimSn=9:D:D:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]s_n=\frac{4.1+1}{2^1}+\frac{4.2+1}{2^2}+...+\frac{4n+1}{2^n}[/TEX]
[TEX]= (\frac{4.1+1}{2^1}+\frac{4.2+1}{2^2}+...+\frac{4n+1}{2^n})+(\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n})[/TEX]

[TEX] A=\frac{4.1}{2^1}+\frac{4.2}{2^2}+...+\frac{4n}{2^n}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{A}{2}=\frac{4.1}{2^2}+\frac{4.2}{2^3} +...+ \frac{4n}{2^{n+1}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A-\frac{A}{2}= \frac{4.1}{2^1}+\frac{4}{2^2}+...+\frac{4}{2^n}-\frac{4n}{2^{n+1}}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A=\frac{4.1}{2^0}+\frac{4}{2^1}+...+\frac{4}{2^{n-1}}-\frac{4n}{2^n}[/TEX]
\Rightarrow A, B
[TEX] s_n=A+B[/TEX]
 
P

phamduyquoc0906

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hê bpt sau có nghiệm:
[TEX] \left{{x^2-7x-8<0}\\{a^2x>(3a-2)x+2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]he\Leftrightarrow{\left{-1<x<8\\x(a^2-3a+2)>2[/TEX]
[TEX]*a^2-3a+2=0\Rightarrow{he\ \ :VN[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Để hệ có nghiệm:[TEX]\left[a^2-3a+2>0,\frac{2}{a^2-3a+2}<8\\a^2-3a+2<0,\frac{2}{a^2-3a+2}>-1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left[a^2-3a+2>\frac{1}{4}\\a^2-3a+2<-2[/TEX]
 
C

catsanda

lagrange said:
1. CMR có duy nhất một điểm thuộc đthị (C) của hàm số [TEX]y=x^3-3x^2+2[/TEX] mà qua mỗi điểm đó chỉ kẻ đc 1 tiếp tuyến với (C).
gọi [tex]M(x_{o};y_{o})[/tex] thuộc (C)
pt tuyến tuyến tại M có dạng
[tex]y-y_{o}=f'(x_{o})(x-x_{o})[/tex]
[tex]<=>y-x_{o}^3+3x_{o}^2-2=(3x_{o}^2-6x_{o})(x-x_{o})[/tex]
pt hoành độ giao điểm (C) và (d)
[tex]<=>x^3-x_{o}^3-3(x^2-x_{o}^2)-(3x_{o}^2-6x_{o})(x-x_{o})=0[/tex]
[tex]<=>\left\begin\[{x=x_{o}\\{x^2+(x_{o}-3)x-2x_{o}^2+3x_{o}=0}(2)[/tex]
từ M kẻ duy nhất 1 tiếp tuyến => pt (2) phải có 1 nghiệm kép [tex]=x_{o}[/tex]
[tex]\left\begin\{\frac{3-x_{o}}{2}=x_{o}\\{x_{o}^2-2x_{o}+1=0}[/tex]
[tex]=>x_{o}=1;y_{o}=0[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bạn ơi người ta kiu là chứng minh mà đâu có phải là tìm điểm đó đâu
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom