Toán Đề thi HSG Toán THPT trên máy tính cầm tay 2020 - 2021

Thảo luận trong 'Ôn thi HSG Toán THPT' bắt đầu bởi iceghost, 13 Tháng một 2022.

Lượt xem: 104

  1. iceghost

    iceghost Mod Toán Cu li diễn đàn TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Bài viết:
    4,986
    Điểm thành tích:
    891
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Bách Khoa TPHCM
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Thời gian làm bài: 60 phút
    Ngày thi: 10/01/2021


    Bài 1.
    Cho $M$ là điểm di động trên parabol $(P_1): y = x^2 + 4x + 18$ và $N$ là điểm di động trên parabol $(P_2): y = 1 - (x - 7)^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN$. (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
    (Đáp số: $15,6287$)

    Bài 2. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy) tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $[100; 200]$ của phương trình: $2\sin x - \cos x = 1$.
    (Đáp số: $4790,06$)

    Bài 3. Biết đồ thị hàm số $f(x) = \dfrac{12x^2 - x + 1}{2x - 1}$ có hai điểm cực trị $A$, $B$. Tính diện tích tam giác $ABC$ với $C(2, -1)$ (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
    (Đáp số: $13,23$)

    Bài 4. Tính tổng các nghiệm của phương trình $2^{1/x} + 3^x = 4,9$ (chính xác đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
    (Đáp số: $1,6114$)

    Bài 5. Gọi $(d)$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 3x + 8}$ (C) tại điểm $M \in (C)$ có hoành độ bằng $6$. Tính diện tích hình phẳng xác định bởi $(d), (C)$ (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
    (Đáp số: $0,16$)

    Bài 6. Một chậu nước hình nón cụt đều (hình vẽ) có chiều cao $4$ dm, bán kính đáy lớn là $5$ dm và bán kính đáy nhỏ là $2$ dm. Hiện chậu không có nước. Người ta đồ $20$ lít nước vào chậu, hẫy tính chiều cao $h_1$ của mực nước. Đậy nấp chậu và úp ngược lại, hãy tính chiều cao $h_2$ của mực nước lúc này (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
    upload_2022-1-13_13-2-4.png
    (Đáp số: $h_1 \approx 1,09$ dm và $h_2 \approx 0,27$ dm)

    Bài 7. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2,9$; $BC = 5,4$; $CA = 4,7$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MC = 2MB$ và $AM$ cắt trung trục của $BC$ tại $I$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $I$, lấy điểm $S$ sao cho $SI = 6,5$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy):
    a) Độ dài các cạnh $SA$, $SB$ của tứ diện $SABC$.
    b) Chiều cao $BK$ của tứ diện $SABC$.
    c) Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$.​
    (Đáp số: $SA \approx 10,94$, $SB \approx 9,37$, $BK \approx 2,02$, $R \approx 6,36$)

    -- Hết --
     
    KaitoKidaz, Tungtom, chi2543 others thích bài này.
  2. iceghost

    iceghost Mod Toán Cu li diễn đàn TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Bài viết:
    4,986
    Điểm thành tích:
    891
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    Đại học Bách Khoa TPHCM

    Bài 7.

    Hồi trước mình tự tin là hủy diệt được bài 7, cơ mà năm ngoái đề đổi đúng thời điểm luôn :D Không biết mấy thầy cô có đọc được bài của mình không nữa, haha.

    Mà nếu được viết lại thì chắc mình dùng phương pháp này để tính cho nhanh.

    Với đề bài mới này, mình thử sử dụng kinh nghiệm làm việc với vector của mình để tính toán xem sao:

    gt: $\vec{MC} = -2\vec{MB}$ nên $C - M = -2B + 2M$ hay $3M = 2B + C$.

    Giả sử điểm $I = xA + 3yM = xA + 2yB + yC$ (với $x + 3y = 1$)

    Khi đó, $I$ thuộc đường trung trực nên $IB = IC$ hay $(B - I)^2 = (C - I)^2$

    Suy ra $B^2 - C^2 = 2I(B - C)$

    Thay $I$ vào, chọn gốc là $B$ để biến mất nhiều thứ cho dễ, ta ra được:

    $- \vec{BC}^2 = 2(x\vec{BA} + y\vec{BC}) \cdot (-\vec{BC})$

    Viết lại: $-BC^2 = -2x \cdot \vec{BA} \cdot \vec{BC} - 2y BC^2$

    Thay $BC^2 = 5.4^2$ và $\vec{BA}\cdot \vec{BC} = \dfrac{BA^2 + BC^2 - AC^2}2$, giải ra $\begin{cases} x = -\dfrac{27}{11} \\ y = \dfrac{38}{33} \end{cases}$

    Tới đây, xét $I = xA + 2yB + yC$
    • Chọn gốc là $A$ thì $\vec{AI} = 2y\vec{AB} + y\vec{AC}$
      Bình phương để tính độ dài thì $$\begin{aligned} AI^2 &= 4y^2 \cdot AB^2 + y^2 \cdot AC^2 + 4y^2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{AC} \\ &= 4y^2 \cdot AB^2 + y^2 \cdot AC^2 + 4y^2 \cdot \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}2 \\ &= \ldots \end{aligned}$$
    • Tương tự với $BI$, $CI$ nhé :D
    Sau khi tính được hết thì mọi yêu cầu còn lại dễ dàng hết luôn rồi.

    Nhìn chung: Cách làm của các bài hình học đó là phân tích $I = xA + yB + zC$, sau đó chọn gốc để tính $IA, IB, IC$ dễ dàng.
    Trong trường hợp đề có đề cập đến đường phân giác, có thể các bạn cần dùng đến $I = aA + bB + cC$ và yếu tố thẳng hàng để tính nữa :D

    P/s: Hồi trước, lúc chưa nghĩ tới chuyện dùng vector và tư tưởng còn hơi lớp 9, mình nhớ là phải tính $\cos$ các thứ, lưu vào $A, B, C$ các cạnh nhỏ xíu xìu xiu luôn. Không hiểu sao vẫn đạt được độ chính xác và vẫn có giải :D

    Giải toán máy tính cầm tay nó giống như speedrun một game nào đó vậy. Nó cũng chỉ một trò chơi thôi, chơi kiểu gì cũng qua được màn, nhưng người ta lại tìm được nhiều route khác nhau để đi thật nhanh và thật chính xác, đáng tin cậy nữa :D Nghe nói kỷ lục Minecraft bây giờ là ít hơn 10 phút luôn.
     
    Timeless timevangiang124 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY