đề thi học sinh giỏi toán 8 trường trung học cơ sở minh tân

[huy14112]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Em thắc mắc nhất câu 3 mấy câu khác có vẻ ổn hơn
Mọi người cùng giải để em so đáp án nhé .

Câu 1. (6 điểm )


1.Giải phuơng trình :

$a)|2x-3|=-x+21$

$b)9x^2+6x-8=0$
2. Chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{x-x^2+1}{x-x^2-1}<1$
Câu 2. (5 điểm)

1. Tìm các hệ số a,b để đa thức $x^4-9x^3+21x^2+ax+b$ chia hết cho đa thức $x^2-x-
2$với mọi$x \epsilon Q$

2.Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^2+2y^2+3xy-x-y+3=0$

Câu 3.(2 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=a^3+b^3+c^3$ . biết a,b,c lớn hơn -1 và $a^2+b^2+c^2=12$

Câu 4(7 điểm)

Cho tam giác ABC . Gọi P là giao điểm của 3 đường phân giác trong của ram giác đó . Đường thẳng qua P và vuông góc với CP , xắt CA và CB theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng :

$a)\Delta AMP \sim \Delta APB$

$b) \dfrac{AM}{BN} = \dfrac{AP^2}{BP^2}$

$BC.AP^2+CA.BP^2+AB.CP^2=AB.BC.CA$



​

 

[thinhrost1]

câu 3 nghĩ hơi lâu mới ra đấy tks nhiệt tình nha

Câu 3.(2 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=a^3+b^3+c^3$ . biết a,b,c lớn hơn -1 và $a^2+b^2+c^2=12$

Áp dụng cô-si:

$a^3+a^3+8 \geq 3\sqrt[3]{8a^3a^3}\geq6a^2$

Tương tự với $b,c$ cộng các vế lại với nhau, ta được:

$2(a^3+b^3+c^3)+3.8 =2A+24 \geq 6(a^2+b^2+c^2) =72$

$\Leftrightarrow A \geq 24$

Đẳng thức xảy ra hay là A đạt GTNN khi $a=b=c=2$.

 

[huy14112]

Áp dụng cô-si:

$a^3+a^3+8 \geq 3\sqrt[3]{8a^3a^3}\geq6a^2$

Tương tự với $b,c$ cộng các vế lại với nhau, ta được:

$2(a^3+b^3+c^3)+3.8 =2A+24 \geq 6(a^2+b^2+c^2) =72$

$\Leftrightarrow A \geq 24$

Đẳng thức xảy ra hay là A đạt GTNN khi $a=b=c=2$.

Nưng mà a,b,c có không âm đâu cu ........................................................

 

[thinhrost1]

Nưng mà a,b,c có không âm đâu cu ........................................................

Bước đó dành riêng cho lí luận

Giả sử $a,b,c<0$

Thì $-1 \leq a,b,c <0$

Thì $a^2,b^2,c^2 <1$

thì $a^2+b^2+c^2<3$ (không được )

Vậy nên $a,b,c \geq 0$

 

[thinhrost1]

sr 2.2 ta không biết )

2.1 Bài này dùng hsbd là gọn nhất

$x^4-9x^3+21x^2+ax+b=(x^2-x-
2)(x^2+cx+d)=x^4+(c-1)x^3+(d-c-2)x^2+(-d-2c)x-2d$

$\left\{\begin{matrix}
c-1=-9 & & \\
d-c-2=21 & & \\
-d-2c=a & & \\
-2d=b & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
c=-8 & & \\
d=15 & & \\
a=1 & & \\
b=-30 & &
\end{matrix}\right.$

 

[huy14112]

2.1 Bài này dùng hsbd là gọn nhất

$x^4-9x^3+21x^2+ax+b=(x^2-x-
2)(x^2+cx+d)=x^4+(c-1)x^3+(d-c-2)x^2+(-d-2c)x-2d$

$\left\{\begin{matrix}
c-1=-9 & & \\
d-c-2=21 & & \\
-d-2c=a & & \\
-2d=b & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
c=-10 & & \\
d=13 & & \\
a=7 & & \\
b=-26 & &
\end{matrix}\right.$

Ta ra 1 và -30 cơ..............................................................................................

 

[congchuaanhsang]

2.1 Bài này dùng hsbd là gọn nhất

$x^4-9x^3+21x^2+ax+b=(x^2-x-
2)(x^2+cx+d)=x^4+(c-1)x^3+(d-c-2)x^2+(-d-2c)x-2d$

$\left\{\begin{matrix}
c-1=-9 & & \\
d-c-2=21 & & \\
-d-2c=a & & \\
-2d=b & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
c=-10 & & \\
d=13 & & \\
a=7 & & \\
b=-26 & &
\end{matrix}\right.$

Cách thông thường là cứ thực hiện pháp chia rồi cho số dư =0 với mọi x

 

[thinhrost1]

1.Giải phuơng trình :

$a)|2x-3|=-x+21$

$b)9x^2+6x-8=0$

1a) $|2x-3|=-x+21$

Xét $x\geq \dfrac{3}{2}$

$2x-3=-x+21 \Leftrightarrow x=5 \text{(Thỏa mãn )}$

Xét $x < \dfrac{3}{2}$

$2x-3=x-21 \Leftrightarrow x =-9 \text{(Thỏa mãn )}$

Vậy:..

b)$9x^2+6x-8=0 \Leftrightarrow (3x-2)(3x+4)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3},x=\dfrac{-4}{3}$

 

[thinhrost1]

Ta ra 1 và -30 cơ..............................................................................................

Thế thì cu sai rồi, thử lại đi

$x^4-9x^3+21x^2+7x-26=(x^2-x- 2)(x^2-10x+13)$ (Đúng)

 

[congchuaanhsang]

$\dfrac{x-x^2+1}{x-x^2-1}$ < 1

\Leftrightarrow $\dfrac{x-x^2+1-x+x^2+1}{x-x^2-1}$<0

\Leftrightarrow $\dfrac{2}{x-x^2-1}$ < 0

\Leftrightarrow $x-x^2-1$ < 0 \Leftrightarrow $x^2-x+1$>0

\Leftrightarrow $(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$ > 0 (luôn đúng)

 

[huy14112]

Cu sai thì có
$ \left\{\begin{matrix}
c=-8 & & \\
d=15 & & \\
a=1 & & \\
b=-30 & &
\end{matrix}\right.$
xem lại đi

 

[congchuaanhsang]

2.2, $x^2+2y^2+3xy−x−y+3=0$

\Leftrightarrow $x^2+(3y-1)x+(2y^2-y+3)=0$

$\Delta$ = $(3y-1)^2-4(2y^2-y+3)$ = $9y^2-6y+1-8y^2+4y-12$

=$y^2-2y-11$

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta$ là số chính phương

Đặt $y^2-2y-11=a^2$ (a $\in$ Z) \Leftrightarrow $(y-1)^2-12=a^2$

\Leftrightarrow $(y-a-1)(y+a-1)=12$

Dễ rồi

 

[soicon_boy_9x]

Bước đó dành riêng cho lí luận

Giả sử $a,b,c<0$

Thì $-1 \leq a,b,c <0$

Thì $a^2,b^2,c^2 <1$

thì $a^2+b^2+c^2<3$ (không được )

Vậy nên $a,b,c \geq 0$

Chưa thể chắc chắn được. Có thể 1 trong 3 số a,b,c âm còn 2 số dương thì vẫn có thể $a^2+b^2+c^2>3$

Cách làm Cô-si thất bại rồi

 

[huy14112]

2.2, $x^2+2y^2+3xy−x−y+3=0$

\Leftrightarrow $x^2+(3y-1)x+(2y^2-y+3)=0$

$\Delta$ = $(3y-1)^2-4(2y^2-y+3)$ = $9y^2-6y+1-8y^2+4y-12$

=$y^2-2y-11$

Để pt có nghiệm nguyên thì $\Delta$ là số chính phương

Đặt $y^2-2y-11=a^2$ (a $\in$ Z) \Leftrightarrow $(y-1)^2-12=a^2$

\Leftrightarrow $(y-a-1)(y+a-1)=12$

Dễ rồi

Có 1 cách rất đơn giản mà em cho vào bài nhé :

$x^2+2y^2+3xy−x−y+3=0$
$(x+2y-1)(x+y)=-3$
Xét từng trường hợp

 

[huy14112]

Mọi người cố giải em câu 3 nhé . Còn câu hình thì chém được rồi ....................

 

[huuthuyenrop2]

Câu này không dễ ăn đâu cu .

 

[huy14112]

Thể theo nguyện vọng của 1 bạn em sẽ giải câu hình :

a)Xét $\Delta CMN$ có CP vừa là đường cao vừa là phân giác $\rightarrow \Delta CMN$ cân $\rightarrow \widehat{CMN}=\widehat{CNM}=\dfrac{180^o-\widehat{MCN}}{2}=90^o-\dfrac{\widehat{MCN}}{2}$

$\rightarrow \widehat{AMN}=180^o-(90^o-\dfrac{\widehat{MCN}}{2}=90^o+\dfrac{\widehat{MCN}}{2}$

Mặt khác : $\widehat{APB}=180^o-\widehat{PAB}-\widehat{PBA}=180^o-\dfrac{\widehat{CAB}}{2}-\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{1}{2}(360^o-\widehat{CAB}-\widehat{ANC})=\dfrac{\widehat{MCN}}{2}+90^o$

OK bây giờ có $\widehat{AMN}=\widehat{APB}$

Lại có : $\widehat{MAP}=\widehat{PAB}$

$\rightarrow \Delta AMP \sim \Delta APB$

NGhỉ tí làm câu b )

 

[huy14112]

Câu b . $\Delta AMP \sim \Delta
APB \rightarrow \dfrac{AP}{PB}=\dfrac{AM}{MP}$

$\rightarrow \dfrac{AP^2}{PB^2}=\dfrac{AM^2}{MP^2}$

Đi CM $\Delta AMP \sim \Delta MNB$ (dễ nhé)
$\rightarrow \dfrac{AM}{MP}=\dfrac{PN}{NB} \rightarrow AM.BN=MP.PN$

Dễ dàng nhận thấy CP cũng là trung tuyến tam giác CMN suy ra MP=PN

$\rightarrow AM.BN=MP^2$

$\rightarrow \dfrac{AM^2}{AM.BN}=\dfrac{AM^2}{MP^2}$

hay $\dfrac{AM}{BN}=\dfrac{AP^2}{PB^2}$

Nghỉ tí làm tiếp câu c )

 

[soicon_boy_9x]

Thực chất thì bài làm của thinhrost1 là đúng rồi nhưng mà chỉ sai ở cách gọi
bất đẳng thức. Bất đẳng thức đó không gọi là bất đẳng Cô-si được.Ta có:

$a^3+a^3+8-6a^2=(2a+2)(2a^2+4-2a-2a-a^2)=2(a+1)(a^2-4a+4)=2(a+1)
(a-2)^2 \geq 0$

$\leftrightarrow a^3+a^3+8 \geq 6a^2$

 

[huy14112]

c)

$\Delta AMP \sim \Delta APB \rightarrow \dfrac{AM}{AP}= \dfrac{AP}{AB} \rightarrow AP^2=AM.AB$
Dễ dàng chứng minh được $\Delta APB \sim \Delta PNB \rightarrow \dfrac{AB}{PB}= \dfrac{PB}{BN} \rightarrow PB^2=AB. BN$

Theo Py-ta-go có : $MP^2+CP^2=MC^2$

$MP^2+CP^2=(AC-AM)(BC-BN)$

$MP^2+CP^2=AC.BC-AC.BN-AM.BC+AM.BN$

$AC.BC=MP^2+CP^2+AC.BN+AM.BC-AM.BN$

$AC.BC.AB=AB.MP^2+AB.CP^2+AB.AC.BN+AB.AM.BC-AB.AM.BN$

thay $PB^2=AB. BN$ và $AP^2=AM.AB$ ( và $MP^2= AM.BN$ đã chứng minh ở câu b) vào có :

$AC.BC.AB=AB.AM.BN+AB.CP^2+PB^2.AC+BC.AP^2-AB.AM.BN$

$AC.BC.AB=AB.CP^2+PB^2.AC+BC.AP^2$

Mệt quá nghỉ tí để làm gì tiếp không biết )