Toán Đề thi chính thức HMEO 2012

[son9701]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề chính thức của HMEO mùa này

HOCMAI MATHEMATICAL EOLYMPIAD FINAL TEST


Bài 1 ( 7 điểm):
Giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix}x^4+.x^3.y+9y=y^3.x+x^2.y^2+9x \\x.(y^3-x^3)=7\end{matrix}\right.$

Bài 2(7 điểm): Tìm hằng số k lớn nhất để bất đẳng thức:

$$ k(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}) \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} $$

đúng với mọi a;b;c là 3 cạnh 1 tam giác

Bài 3(7 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O).M di động trên cung AC.Tìm M để $MA^3+MC^3+3MA.MB.MC$ đạt GTLN;GTNN

Bài 4( 7 điểm)Số nguyên dương a được gọi là số tốt nếu như $a = p^n-1$ với p là số nguyên tố và n nguyên dương (có thể = 1).Tìm tất cả các số tốt là số chẵn và thỏa mãn tất cả ước số của nó cũng là số tốt

Bài 5(7 điểm) : Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Các trung tuyến $AH,CD,BF$ của tam giác cắt nhau tại $G$. Gọi $E$ là trọng tâm của $\Delta ACD$; $O$ là tâm đường trọn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Từ $G$ kẻ $GI// AC\ (I\in HC)$. CMR:

a) $\Delta ADG\sim \Delta DOE$ (4,5 đ)
b) $EO\perp CD$ (2,5 đ)

Bài 6(7 điểm) : Cho 2010 số 0, 2011 sô 1, 2012 số 2. Mỗi lần ta xóa đi hai số bất kì rồi viết số còn lại lên bảng. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào!


Đề thi có 6 câu,các câu được chọn gồm:

Câu 1: hệ pt của bosjeunhan
Câu 2: bất đẳng thức của APMO
Câu 3: Hình của son9701
Câu 4: Đề dự tuyển lớp 10 ĐHSP 2011-2012
Câu 5: Hình của minhtuyb
Câu 6: Đề dự tuyển lớp 10 ĐHSP 2011-2012

 

[minhtuyb]

Bài 2(7 điểm): Tìm hằng số k lớn nhất để bất đẳng thức:

$$ k(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}) \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ (*) $$

đúng với mọi a;b;c là 3 cạnh 1 tam giác

-Theo gt thì các biểu thức trong căn đều được xác định.
-Bây giờ cho $a=b=c$ thì $(*)$ trở thành:
$$3k\sqrt{a}\le 3\sqrt{a}\Leftrightarrow k\le 1$$
-Giờ ta phải c/m BĐT $(*)$ đúng với $k=1$, tức là phải c/m:
$$ \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ (1) $$
-Thật vậy, đặt:
$$\left\{\begin{matrix}x=a+b-c\\y=a+c-b\\z=b+c-a\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0\\a=\dfrac{x+y}{2}\\ b=\dfrac{y+z}{2}\\c=\dfrac{z+x}{2} \end{matrix}\right.$$
-Khi đó viết lại $(1)$ dưới dạng:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}\ (2)$$
Biến đổi tương đương:
$$(2)\Leftrightarrow \sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \\ \Leftrightarrow 2(x+y+z)+4(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\le 2(x+y+z)+2\left[\sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(y+z)(z+x)}+ \sqrt[]{(z+x)(x+y)}\right ]\\ \Leftrightarrow 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\le \sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(y+z)(z+x)}+\sqrt{(z+x)(x+z)}$$
Đúng vì theo Bunhi thì:
$$\sqrt{(x+y)(y+z)}\ge \sqrt{xy}+\sqrt{yz}\\\sqrt{(y+z)(z+x)}\ge \sqrt{yz}+\sqrt{xz}\\\sqrt{(z+x)(x+y)}\ge \sqrt{xz}+\sqrt{xy}$$
Vậy $(2)$ đúng. Vậy hằng số $k$ lớn nhất thoả mãn BĐT $(*)$ là $k=1$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c$
---
Câu này cho điểm ^_^

 

[son9701]

-Theo gt thì các biểu thức trong căn đều được xác định.
-Bây giờ cho $a=b=c$ thì $(*)$ trở thành:
$$3k\sqrt{a}\le 3\sqrt{a}\Leftrightarrow k\le 1$$
-Giờ ta phải c/m BĐT $(*)$ đúng với $k=1$, tức là phải c/m:
$$ \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ (1) $$
-Thật vậy, đặt:
$$\left\{\begin{matrix}x=a+b-c\\y=a+c-b\\z=b+c-a\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0\\a=\dfrac{x+y}{2}\\ b=\dfrac{y+z}{2}\\c=\dfrac{z+x}{2} \end{matrix}\right.$$
-Khi đó viết lại $(1)$ dưới dạng:
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le \sqrt{\dfrac{x+y}{2}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{2}}\ (2)$$
Biến đổi tương đương:
$$(2)\Leftrightarrow \sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \\ \Leftrightarrow 2(x+y+z)+4(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\le 2(x+y+z)+2\left[\sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(y+z)(z+x)}+ \sqrt[]{(z+x)(x+y)}\right ]\\ \Leftrightarrow 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})\le \sqrt{(x+y)(y+z)}+\sqrt{(y+z)(z+x)}+\sqrt{(z+x)(x+z)}$$
Đúng vì theo Bunhi thì:
$$\sqrt{(x+y)(y+z)}\ge \sqrt{xy}+\sqrt{yz}\\\sqrt{(y+z)(z+x)}\ge \sqrt{yz}+\sqrt{xz}\\\sqrt{(z+x)(x+y)}\ge \sqrt{xz}+\sqrt{xy}$$
Vậy $(2)$ đúng. Vậy hằng số $k$ lớn nhất thoả mãn BĐT $(*)$ là $k=1$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c$
---
Câu này cho điểm ^_^

Khửa khửa,câu này dài kiểu Tú khéo phải trừ ) :
Lắp a=b=c ta có $k$ \leq $1$

Khi k =1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho 2 bộ số $\sqrt{a+b-c};\sqrt{b+c-a}$ và 1;1 ta có:

$(\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a})^2$ \leq $2(a+b-c+b+c-a)=4b$
Khai căn 2 vế bđt (vì 2 vế đều dương) ta được:
$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}$ \leq $2\sqrt{b}$

Tương tự,ta cm được:

$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{c+a-b}$ \leq $2\sqrt{a}$


$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}$ \leq $2\sqrt{c}$

Cộng theo vế 3 bđt trên ta được k =1 bất đẳng thức đúng

Vậy k max= 1

 

[hthtb22]

$1=2^1-1$
Không gọi số tốt thì là số xấu à
......................................

 

[vy000]

Bài 4( 7 điểm)Số nguyên dương a được gọi là số tốt nếu như $a = p^n-1$ với p là số nguyên tố và n nguyên dương (có thể = 1).Tìm tất cả các số tốt là số chẵn và thỏa mãn tất cả ước số của nó cũng là số tốt

Hừm,vật vã với bài này từ chiều đến giờ:

(mình xin phép ko đặt điều kiện các ẩn vì cách mình dài+nhìu ẩn quá)

+)Nếu a không có ước lẻ>1

$\Rightarrow a=2^m$

Dễ thấy các số 2,4,8,16 thỏa mãn;còn các số $\ge 32$ ko thỏa mãn

+)Nếu a có ước lẻ >1

Giả sử a có nhiều hơn 1 ước nguyên tố lẻ,gọi x,y là 2 ước nguyên tố lẻ của a

$\Rightarrow x,y,xy$ đều là số tốt

Dễ chứng minh mọi số tốt lẻ đều có dạng $2^w-1$

Đặt $x=2^p-1,y=2^q-1,xy=2^r-1$ ta chứng minh được điều vô lý

$\Rightarrow $ a chỉ có duy nhát 1 ước nguyên tố lẻ

đặt ước đó là $z=2^b-1 (b>1)$

do a chẵn $ \Rightarrow$ 2z là ước của a

$\Rightarrow 2(2^b-1)=u^c-1$

$\Rightarrow 2^{b+1}-1=u^c$ (1)

+)Nếu b > 2
Do $2^b-1$ là số nguyên tố $\Rightarrow b$ lẻ

$\Rightarrow b+1$ chẵn (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow u^c$ có ước là 3

$\Rightarrow u=3$

$\Rightarrow 2^{b+1}-1 =3^c$ ( b lẻ)

Vì $b>2 \Rightarrow 2^{b+1} \geq 8$

$\Rightarrow 2^{b+1} -1 \equiv 7 (mod 8) $

Mà $3^c \equiv 1,3 (mod 8)$

$\Rightarrow$ loại

$\Rightarrow$ loại

+)Nếu b=2 $\Rightarrow$ a có ước nguyên tố lẻ duy nhất là 3

Các số thỏa mãn là 6,12,24,48


Vậy các số tốt đó là:2,4,6,8,12,16,24,48

 

[vngocvien97]

Một suy nghĩ vớ vẩn đã làm tôi bỏ bài bất đẳng thức dễ ẹc,huhu
Bài cuối đáp án có phải là số 1 đúng không nhỉ?
Đoán mò vậy thôi lời giải thì không biết.

 

[vy000]

Bạn bấm máy tính đúng ko?
máy tính mình ko rõ(hic,chưa dùng bao giờ) nhưng hình như 1 số bước nó làm tròn nên đáp số nhiều khi ko chính xác

đây nhé:

$\sqrt[]{5}+\sqrt[]{27}+\sqrt[]{45}$
$=\sqrt[]{5}+3\sqrt[]{3}+3\sqrt[]{5}$
$=4\sqrt[]{5}+3\sqrt[]{3}$

đến đây dễ cm nó nhỏ hơn 15 nên k không thể lớn hơn 1

 

[daovuquang]

Bài 4( 7 điểm)Số nguyên dương a được gọi là số tốt nếu như $a = p^n-1$ với p là số nguyên tố và n nguyên dương (có thể = 1).Tìm tất cả các số tốt là số chẵn và thỏa mãn tất cả ước số của nó cũng là số tốt

Hừm,vật vã với bài này từ chiều đến giờ:

(mình xin phép ko đặt điều kiện các ẩn vì cách mình dài+nhìu ẩn quá)

+)Nếu a không có ước lẻ>1

$\Rightarrow a=2^m$

Dễ thấy các số 2,4,8,16 thỏa mãn;còn các số $\ge 32$ ko thỏa mãn

+)Nếu a có ước lẻ >1

Giả sử a có nhiều hơn 1 ước nguyên tố lẻ,gọi x,y là 2 ước nguyên tố lẻ của a

$\Rightarrow x,y,xy$ đều là số tốt

Dễ chứng minh mọi số tốt lẻ đều có dạng $2^w-1$

Đặt $x=2^p-1,y=2^q-1,xy=2^r-1$ ta chứng minh được điều vô lý

$\Rightarrow $ a chỉ có duy nhát 1 ước nguyên tố lẻ

đặt ước đó là $z=2^b-1 (b>1)$

do a chẵn $ \Rightarrow$ 2z là ước của a

$\Rightarrow 2(2^b-1)=u^c-1$

$\Rightarrow 2^{b+1}-1=u^c$ (1)

+)Nếu b > 2
Do $2^b-1$ là số nguyên tố $\Rightarrow b$ lẻ

$\Rightarrow b+1$ chẵn (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow u^c$ có ước là 3

$\Rightarrow u=3$

$\Rightarrow 2^{b+1}-1 =3^c$ ( b lẻ)

$\Rightarrow$ loại

+)Nếu b=2 $\Rightarrow$ a có ước nguyên tố lẻ duy nhất là 3

Các số thỏa mãn là 6,12,24,48


Vậy các số tốt đó là:2,4,6,8,12,16,24,48

Cái đoạn $2^{b+1}-1 =3^c$ ( b lẻ) ấy, bạn giải thích rõ hơn được ko?

 

[vy000]

Cái đoạn $2^{b+1}-1 =3^c$ ( b lẻ) ấy, bạn giải thích rõ hơn được ko?

Vì $b>2 \Rightarrow 2^{b+1} \geq 8$

$\Rightarrow 2^{b+1} -1 \equiv 7 (mod 8) $

Mà $3^c \equiv 1,3 (mod 8)$

$\Rightarrow$ loại

 

[duynhana1]

Bài 6(7 điểm) : Cho 2010 số 0, 2011 sô 1, 2012 số 2. Mỗi lần ta xóa đi hai số bất kì rồi viết số còn lại lên bảng. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào!

Mình muốn giải bài có được không nhỉ ^^

 

[vy000]

6.nhận thấy:ban đầu tổng tất cả các số là:2011+2012.2=6035 là 1 số lẻ
sau mỗi lần viết,tổng bị giảm đi 1 or 3 hoặc tăng 1 đơn vị
do đó cứ sau 2n lần viết,tính chẵn lẻ của tổng ko đổi

đồng thời,cứ sau 1 lần viết,số các số cũng giảm đi 1
do đó để còn 1 số duy nhất cần viết:2010+2011+2012-1=6032 lần là 1 số chẵn
nên số còn lại phải là 1 số lẻ
đó là số 1
@duynhana1:anh giải tự nhiên ah,sao lại ko được

 

[duynhana1]

do đó cứ sau 2n lần viết,tính chẵn lẻ của tổng ko đổi

Sau em biết 2n lần, ^_^ đâu nhất thiết trên bảng chỉ còn 1 số đâu.
Tưởng đâu các em đang thi với nhau thôi

 

[duynhana1]

Bài 6(7 điểm) : Cho 2010 số 0, 2011 sô 1, 2012 số 2. Mỗi lần ta xóa đi hai số bất kì rồi viết số còn lại lên bảng. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào!

* Chứng minh số bước xóa là hữu hạn :
Sau mỗi bước số số trên bảng giảm đi 1, mà số số trên bảng là hữu hạn (2010+2011+2012 số) nên sau 1 số hữu hạn bước thì sẽ không có cách để thực hiện nữa (còn lại 1 loại số) và số số còn lại ít nhất là 1.

* Tìm số còn lại:
- Gọi số số 1, số số 2, số số 3 còn lại trên bảng khi thực hiện bước thứ i lần lượt là $a_i,\ b_i,\ c_i$. Khi đó ta có: $a_0=2010,\ b_0=2011,\ c_0=2012$.
$\bullet$ Nhận xét: $|a_i-b_i|$ và $|b_i-c_i|$ luôn là số lẻ.
Do đó không tồn tại bước thứ i để $a_i=b_i=0$ hoặc $b_i=c_i=0$ , hay số còn lại không thể là số 2 hoặc số 0.
Suy ra: Số còn lại là số 1.

 

[minhtuyb]

Bài 3(7 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O).M di động trên cung AC.Tìm M để $MA^3+MC^3+3MA.MB.MC$ đạt GTLN;GTNN

Đề bài chỉ mang tính chất hù doạ =)):
----
Ta dễ dàng c/m: $MA+MC=MB$ (có thể tham khảo thêm ở đây)
Đặt biểu thức đã cho là $P$, bán kính đường tròn $(O)$ là $R$, cạnh của $\Delta ABC$ là $a\ (a,R>0)$.
Khi đó ta có:
$$P=(MA+MC)^3-3MA.MC(MA+MC)+3MA.MC.MB=MB^3$$
Mà do $M$ di động trên cung $AC$ nên:
$$AB\le MB\le 2R\Leftrightarrow a^3\le P\le 8R^3$$
-Dấu đẳng thức bên trái đạt được khi $M\equiv A$ hoặc $M\equiv C$
-Dấu đẳng thức bên phải đạt được khi $M$ đối xứng với $B$ qua $O$
Vậy: ...

 

[vy000]

Đề ghi tìm $M$ để $MA^3+MC^3+3MA.MB.MC$ đạt GTLN,GTNN chứ ko ghi tìm các giá trị ấy thì không cần tìm nhỉ??

 

[son9701]

Bài 5(7 điểm) : Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Các trung tuyến $AH,CD,BF$ của tam giác cắt nhau tại $G$. Gọi $E$ là trọng tâm của $\Delta ACD$; $O$ là tâm đường trọn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Từ $G$ kẻ $GI// AC\ (I\in HC)$. CMR:[/SIZE]

a) $\Delta ADG\sim \Delta DOE$ (4,5 đ)
b) $EO\perp CD$ (2,5 đ)

Bài 5 này của Tú là phần đảo và còn làm dễ ra của đề thi Senior Balkan 1985 :-SS thì phải
@minhtuyb: Cái này là đề đội tuyển chứ có biết gì đâu