Toán 10 Đẳng thức tổ hợp

[Helga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
a) [imath]2. C_{2n}^2 + 4.C_{2n}^4 + ... + 2n.C_{2n}^{2n} = n.2^{n-1}[/imath]

b) [imath]C_n^1 - 2.C_n^2 + 3.C_n^3 - ... + [(-1)^{n-2}].n.C_n^n = 0[/imath]

c) [imath]1.[2^{n-1}].C_n^1 + 2.[2^(n-2)].C_n^2 + ... + n.C_n^n = n.3^{n-2}[/imath]

 

[chi254]

Chứng minh rằng:
a) [imath]2. C_{2n}^2 + 4.C_{2n}^4 + ... + 2n.C_{2n}^{2n} = n.2^{n-1}[/imath]

b) [imath]C_n^1 - 2.C_n^2 + 3.C_n^3 - ... + [(-1)^{n-2}].n.C_n^n = 0[/imath]

c) [imath]1.[2^{n-1}].C_n^1 + 2.[2^(n-2)].C_n^2 + ... + n.C_n^n = n.3^{n-2}[/imath]

Helgaa) [imath]2. C_{2n}^2 + 4.C_{2n}^4 + ... + 2n.C_{2n}^{2n} = n.2^{n-1}[/imath]

Xét [imath](1 + x)^{2n} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1.x + C_{2n}^2.x^2 + ... + C_{2n}^{2n}.x^{2n}[/imath]
[imath](1 - x)^{2n} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1.x + C_{2n}^2.x^2 - ... + C_{2n}^{2n}.x^{2n}[/imath]

Cộng vế theo vế ta có:
[imath]2( C_{2n}^0 + C_{2n}^2.x^2 + ... + C_{2n}^{2n}.x^{2n}) = (1 + x)^{2n}+ (1 - x)^{2n}[/imath]
[imath]\iff C_{2n}^0 + C_{2n}^2.x^2 + ... + C_{2n}^{2n}.x^{2n} = \dfrac{(1 + x)^{2n}+ (1 - x)^{2n}}{2}[/imath]

Đạo hàm 2 vế ta có :
[imath]2. C_{2n}^2.x + 4.C_{2n}^4.x^3 + ... + 2n.C_{2n}^{2n}.x^{2n} = n[(1 + x)^{2n-1}+ (1 - x)^{2n-1}][/imath]
Thay [imath]x = 1[/imath] ta có đpcm

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo thêm kiến thức tại Tổng hợp kiến thức toán 11