Toán [Đa thức] Các bài toán đa thức nâng cao

[minhhoang_vip]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [TEX]Q(x) = ax^2 + bx + c[/TEX] và [TEX]5a+b+2c=0[/TEX]. Chứng minh rằng [TEX]Q(2).Q(-1) \leq 0[/TEX].
2. Chứng minh rằng đa thức [TEX]P(x)[/TEX] có ít nhất 2 nghiệm, biết: [TEX]x.P(x+2) - (x - 3).P(x - 1) = 0[/TEX]

 

[iceghost]

Lời giải. 1. Từ gt ta có $b = -5a - 2c$
Khi đó : $\small{Q(2) \cdot Q(-1) = (4a + 2b + c)(a - b + c) = (4a - 10a - 4c + c)(a + 5a + 2c + c) = (-6a-3c)(6a+3c) = -(6a+3c)^2 \leqslant 0}$

2. Từ gt ta có $xP(x+2) = (x-3)P(x-1)$
Thay $x = 0$ ta có $0 \cdot P(2) = -3 \cdot P(-1) \iff P(-1) = 0$
Thay $x = 3$ ta có $3 \cdot P(5) = 0 \cdot P(2) \iff P(5) = 0$
Vậy $P(x)$ có ít nhất $2$ nghiệm $x = -1$ và $x=5$