Toán 9 Cực trị hình học.

[KhanhHuyen2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn cố định nội tiếp đường tròn (O). Điểm P thay đổi trên cung AB nhỏ của đường tròn (O) ( P khác A; B ) đường thẳng đi qua P vuông góc với OA cắt AB; AC thứ tự ở Q, R. Đường thẳng đi qua P vuông góc với OB cắt AB, BC lần lượt tại S; T. a, Chứng minh tam giác PQS cân. b, Giả sử ttam giác ABC cân tại C. Gọi M là giao điểm của AB và PC. Chứng minh tam giác CPA đồng dạng với tam giác CMA và khi P chuyển động trên cung AB nhỏ thì PC/ PA+PB không đổi. c, Tìm P thuộc cung nhỏ để SQ.ST đạt max Anh chị giúp em câu c ạ.

 

[7 1 2 5]

Cho tam giác ABC nhọn cố định nội tiếp đường tròn (O). Điểm P thay đổi trên cung AB nhỏ của đường tròn (O) ( P khác A; B ) đường thẳng đi qua P vuông góc với OA cắt AB; AC thứ tự ở Q, R. Đường thẳng đi qua P vuông góc với OB cắt AB, BC lần lượt tại S; T. a, Chứng minh tam giác PQS cân. b, Giả sử ttam giác ABC cân tại C. Gọi M là giao điểm của AB và PC. Chứng minh tam giác CPA đồng dạng với tam giác CMA và khi P chuyển động trên cung AB nhỏ thì PC/ PA+PB không đổi. c, Tìm P thuộc cung nhỏ để SQ.ST đạt max View attachment 220314 Anh chị giúp em câu c ạ.

KhanhHuyen2006Em ơi câu c) có còn điều kiện [imath]\Delta ABC[/imath] cân tại [imath]C[/imath] nữa không nhỉ.

 

[KhanhHuyen2006]

Em ơi câu c) có còn điều kiện [imath]\Delta ABC[/imath] cân tại [imath]C[/imath] nữa không nhỉ.

7 1 2 5Dạ không có gì anh ạ, em đang nghi sai đề ạ.

 

[7 1 2 5]

Dạ không có gì anh ạ, em đang nghi sai đề ạ.

KhanhHuyen2006Anh cũng đang nghĩ vậy, vì bài toán đưa về tìm [imath]AP \cdot BP^3[/imath] max thì hơi khó.

 

[KhanhHuyen2006]

Anh cũng đang nghĩ vậy, vì bài toán đưa về tìm [imath]AP \cdot BP^3[/imath] max thì hơi khó.

7 1 2 5Dạ đề là tìm Max của SQ.QR ạ, mong anh giúp em với ạ, em cảm ơn anh.^^

 

[7 1 2 5]

Dạ đề là tìm Max của SQ.QR ạ, mong anh giúp em với ạ, em cảm ơn anh.^^

KhanhHuyen2006Hmm, 2 đề như nhau á em. Vì vai trò của [imath]QR[/imath] và [imath]ST[/imath] như nhau thôi nên đổi cho nhau cũng vậy á.

 

[KhanhHuyen2006]

Hmm, 2 đề như nhau á em. Vì vai trò của [imath]QR[/imath] và [imath]ST[/imath] như nhau thôi nên đổi cho nhau cũng vậy á.

7 1 2 5À dạ em nhầm anh ơi ST.QR ạ, anh giúp em với ạ. Hihi

 

[7 1 2 5]

Nhận thấy [imath]\Delta AQR \sim \Delta ACB \sim \Delta TSB[/imath] nên [imath]\dfrac{AQ}{QR}=\dfrac{TS}{SB}[/imath] hay [imath]ST \cdot QR=AQ \cdot BS[/imath].
Kéo dài [imath]PQ[/imath] cắt [imath](O)[/imath] tại [imath]D \neq P[/imath] thì do [imath]OA \perp PD[/imath] nên [imath]OA[/imath] là trung trực của [imath]PD[/imath] hay [imath]AP=AD[/imath]
Từ đó [imath]\widehat{APQ}=\widehat{ABP}[/imath]
Tương tự thì [imath]\widehat{BPS}=\widehat{BAP}[/imath] nên [imath]\Delta APQ \sim \Delta PBS[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{PS}{BS} \Rightarrow AQ \cdot BS=PQ \cdot PS=PQ^2[/imath]. Vậy nên ta cần tìm [imath]P[/imath] sao cho [imath]PQ[/imath] lớn nhất.
Mặt khác, ta cũng có [imath]\Delta APQ \sim \Delta ABP \Rightarrow \dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{AP}{AB} \Rightarrow PQ=\dfrac{AP \cdot BP}{AB}[/imath]
Ta cần tìm [imath]P[/imath] sao cho [imath]AP \cdot BP[/imath] lớn nhất.
Áp dụng định lý [imath]\cos[/imath] cho [imath]\Delta APB[/imath] ta có [imath]AB^2=AP^2+PB^2-2AP \cdot BP \cdot \cos \widehat{APB}=AP^2+PB^2+2AP \cdot BP \cdot \cos \widehat{C}[/imath]
[imath]\Rightarrow AB^2 \geq 2AP \cdot BP+2AP \cdot BP \cdot \cos \widehat{C}=2AP \cdot BP(1+\cos \widehat{C})[/imath]
[imath]\Rightarrow AP \cdot BP \leq \dfrac{AB^2}{2(1+\cos \widehat{C})}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]AP=BP[/imath] hay [imath]P[/imath] nằm giữa cung nhỏ [imath]AB[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Ôn tập toán các dạng bài hình học 9

 

[KhanhHuyen2006]

Nhận thấy [imath]\Delta AQR \sim \Delta ACB \sim \Delta TSB[/imath] nên [imath]\dfrac{AQ}{QR}=\dfrac{TS}{SB}[/imath] hay [imath]ST \cdot QR=AQ \cdot BS[/imath].
Kéo dài [imath]PQ[/imath] cắt [imath](O)[/imath] tại [imath]D \neq P[/imath] thì do [imath]OA \perp PD[/imath] nên [imath]OA[/imath] là trung trực của [imath]PD[/imath] hay [imath]AP=AD[/imath]
Từ đó [imath]\widehat{APQ}=\widehat{ABP}[/imath]
Tương tự thì [imath]\widehat{BPS}=\widehat{BAP}[/imath] nên [imath]\Delta APQ \sim \Delta PBS[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{PS}{BS} \Rightarrow AQ \cdot BS=PQ \cdot PS=PQ^2[/imath]. Vậy nên ta cần tìm [imath]P[/imath] sao cho [imath]PQ[/imath] lớn nhất.
Mặt khác, ta cũng có [imath]\Delta APQ \sim \Delta ABP \Rightarrow \dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{AP}{AB} \Rightarrow PQ=\dfrac{AP \cdot BP}{AB}[/imath]
Ta cần tìm [imath]P[/imath] sao cho [imath]AP \cdot BP[/imath] lớn nhất.
Áp dụng định lý [imath]\cos[/imath] cho [imath]\Delta APB[/imath] ta có [imath]AB^2=AP^2+PB^2-2AP \cdot BP \cdot \cos \widehat{APB}=AP^2+PB^2+2AP \cdot BP \cdot \cos \widehat{C}[/imath]
[imath]\Rightarrow AB^2 \geq 2AP \cdot BP+2AP \cdot BP \cdot \cos \widehat{C}=2AP \cdot BP(1+\cos \widehat{C})[/imath]
[imath]\Rightarrow AP \cdot BP \leq \dfrac{AB^2}{2(1+\cos \widehat{C})}[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]AP=BP[/imath] hay [imath]P[/imath] nằm giữa cung nhỏ [imath]AB[/imath].

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Ôn tập toán các dạng bài hình học 9

7 1 2 5 Dạ anh ơi, cho em hỏi chỗ này như nào vậy ạ?

 

[7 1 2 5]

View attachment 220393 Dạ anh ơi, cho em hỏi chỗ này như nào vậy ạ?

KhanhHuyen2006Đoạn này là định lý cosin nhé em.

 

[KhanhHuyen2006]

Đoạn này là định lý cosin nhé em.

7 1 2 5Dạ anh ơi, ý em là sao đang -2... cos APB lại suy ra được +2...cos C ý ạ, biến đổi ntn vậy anh?

 

[7 1 2 5]

Dạ anh ơi, ý em là sao đang -2... cos APB lại suy ra được +2...cos C ý ạ, biến đổi ntn vậy anh?

KhanhHuyen2006Do [imath]\widehat{APB}=180^o-\widehat{C}[/imath] nên [imath]\cos \widehat{APB}=-\cos \widehat{C}[/imath] nhé.