Cho tam giác ABC vuông tại C. Các đường trung tuyến AM, BN. Biết AM = m,BN = n. Gọi r là bán kính đừog tròn nội tiếp của tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của [math]A = \frac{r^2}{m^2+n^2}\\[/math]
doanhnhannguyenthinh@gmail.com
[imath]m^2=AC^2+CM^2=b^2+\dfrac{a^2}4[/imath]
[imath]n^2=CB^2+CN^2=a^2+\dfrac{b^2}4[/imath]
[imath]S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{ab}{a+b+c}[/imath]
[imath]A=\dfrac{4a^2b^2}{(5a^2+5b^2)(a+b+c)^2}[/imath]
[imath]=\dfrac{4a^2b^2}{5c^2(a+b+\sqrt{a^2+b^2})^2}\le \dfrac{2ab}{5(a+b+\sqrt{a^2+b^2})^2}[/imath] ([imath]c^2=a^2+b^2\ge 2ab[/imath])
[imath]a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}[/imath]
Suy ra [imath]A\le \dfrac{2ab}{5ab(2+\sqrt2)^2}=\dfrac{3-2\sqrt2}5[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b\Leftrightarrow \Delta ABC[/imath] vuông cân tại C
Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
