Toán $\color{Teal}{\fbox{Toán 9}\text {Chuyên đề hình học phẳng} }$

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hình học 9 là một phần rất quan trọng và rất khó.
Pic này giúp các bạn rèn luyện, thuần thục hơn trong việc giải hình 9 và chủ yếu là hình về đường tròn.

Mong các bạn ủng hộ và gõ tiếng việt, Latex.

Giờ đến phần lý thuyết trước, mình chỉ nói đến một số lý thuyết trọng tâm vào việc giải hình ở HKII.

I. Góc nội tiếp:

Góc $BAC$ nội tiếp, có $\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOC}$

Nói tóm lại, góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn, bằng nửa số đo cung bị chắn.

II. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:

Góc $MAB$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, $\widehat{MAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}$

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung mà dây cung đó chắn.

III. Góc có đỉnh bên trong đường tròn:

Góc $AMB, BMC,CMD, DMA$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn.

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}=\dfrac{1}{2}(\widehat{AOB}+\widehat{COD})$

Góc có đỉnh bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo 2 cung bị chắn.

VI. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn:

$\widehat{AMB}=\dfrac{1}{2}(\widehat{COD}-\widehat{AOB})$

Nói cách khác góc có đỉnh bên ngoài đường tròn có số đo bẳng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn.

V. Quỹ tích:

Ví dụ cơ bản(Bài toán 1): Cho đoạn $BC$ cố định và điểm $A$ thay đổi sao cho $\widehat{BAC}=\alpha ^{o}$

Quỹ tích điểm $A$ là tập hợp tất cả các điểm $A$ thoả mãn điều kiện trên.

Trong bài toán trên, quỹ tích điểm $A$ là cung $BC$ sao cho số đo cung $BC$ bằng $\alpha$ (Hình trên)

Bài toán 2: Cho góc $xOy$. Quy tích điểm $A$ nằm trong $xOy$ và khoảng cách từ $A$ đến $Ox$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $Oy$ là phân giác trong góc $xOy$

Bài toán 3: Cho đoạn thẳng $AB$, quỹ tích các điểm $M$ sao cho $MA=MB$ và đường trung trực của $AB$

Và còn rất nhiều loại quỹ tích khác.

VI. Tứ giác nội tiếp: Là tứ giác có tất cả các đỉnh cùng thuộc 1 đường tròn. Có tổng 2 góc đối bằng $180^{o}$. Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng $180^{o}$ thì tứ giác đó nội tiếp.

Trên là các kiến thức trọng tâm.

Và ở bài sau mình sẽ nói đến các kiến thức khác nâng cao hơn.

 

[huynhbachkhoa23]

Phần 1: Phương tích của đường tròn.

Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ sao cho không nằm trong đường tròn.
Qua $M$ kẻ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt $O$ tại $A,B$, đường thẳng thứ 2 cắt $O$ tại $C,D$. Tích $MA.MB=MC.MD=|MO^2-R^2|$ không đổi gọi là phương tích của điểm $M$ đối với đường tròng tâm $O$, bán kính $R$. Việc chứng minh cực kỳ đơn giản, chỉ cần phân ra $M$ nằm trong, nằm ngoài đường tròn và sử dụng đồng dạng để chứng minh.

Bài toán phụ 1: Cho đường tròn $(O;R)$ và 1 điểm $A$ khác $O$ nằm trong đường tròn. Đường thẳng thay đổi qua $A$ sao cho không đi qua $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M,N$.
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $MON$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Giải:

Gọi $P$ là giao điểm của tia $OA$ với đường tròn ngoại tiếp $MON$

Theo phương tích của đường tròn có: $OA.AP=AM.AN=R^2-AO^2 \rightarrow AP=\dfrac{R^2-OA^2}{OA}$

Lại có $OA$ không đổi, $R$ không đổi nên $AP$ không đổi mà $P$ lại nằm trên $OA$. Vậy $P$ là điểm cố định đó.

Bài toán phụ 2:

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $AB$ cố định với $E$ là trung điểm $AB$. Đường thẳng qua $A$ cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OE$ tại $P, Q$. Chứng minh tích $AQ.AP$ không đổi và đường tròn ngoại tiếp $BPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải: $AP.AQ=AE^2=\dfrac{AB^2}{4}$ không đổi.
Gọi $I$ là giao điểm đường tròn ngoại tiếp $PQB$ và $AB$ và chứng minh $AI$ không đổi.

Phần 2: Trực tâm

Phần này cực kỳ quan trọng mình sẽ làm bài tập mở đầu. Tối nay mình sẽ đưa full lời giải nếu chưa bạn nào giải ra.

Bài toán chính: Cho tam giác $ABC$ nhọn như trên.

Chứng minh:
a) $A'$ đối xứng với $H$ qua $BC$

b) Chứng minh $\widehat{AFE}=\widehat{ACD}; \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

c) Khi $A$ đi chuyển trên đường tròn thì $H$ đi chuyển trên đường nào.

d) Chứng minh: $\dfrac{AA'}{AD}+\dfrac{BB'}{BE}+\dfrac{CC'}{CF}=4$

e) Chứng minh $AO \bot FE$

Nếu không chứng minh được phần này thì bài tập sẽ rất khó.

 

[huynhbachkhoa23]

Câu a:

Ta có $A'H \bot BC$

2 tứ giác nội tiếp $ABA'C$ và $AFHE$

$\widehat{BHC}=180^{o}-\widehat{BAC}=\widehat{BA'C}$

Suy ra điều cần chứng minh.

Câu b:

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC} \rightarrow BFEC$ nội tiếp.

Áp dụng phương tích: $AF.AB=AE.AC$

$\rightarrow \Delta AFE \sim \Delta ABC$

Suy ra điều cần chứng minh.

Câu c:

Áp dụng câu a ta có quỹ tích điểm $H$ là đường tròn tâm $O'$ là ảnh của $O$ qua phép đối xứng trục $BC$, bán kính $R$.

Câu d:

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1$

$\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{S_{BHC}}{S_{ABC}}$

$\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ABC}}$

$\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{AHB}}{S_{ABC}}$

Cộng lại và ta có điều cần chứng minh.

Câu e:

Gọi $K$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $AEF$ ($K\in EF$)

Kẻ đường kính $AT$

Ta có $\widehat{KAE}=90^{o}-\widehat{FEA}=90^{o}-\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}(180^{o}-\widehat{AOC})=\dfrac{1}{2}\widehat{COT}=\widehat{OAE}$

Vậy $A,K,O$ thẳng hàng nên $AO \bot FE$

Hình vẽ câu e:

 

[huynhbachkhoa23]

Rồi, trong ra bài thì mình cũng sẽ cho thêm lý thuyết.

Bắt đầu với vài bài dễ nào =))

Bài 1:
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong $(O)$ và có $H$ là trực tâm.

Lấy $M$ trên cung nhỏ $BC$.

a) Xác định $M$ để $HBMC$ là hình bình hành.

b) Với $M$ bất kỳ trên cung nhỏ $BC$, gọi $P$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AB$, $Q$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AC$. Chứng minh $P,H,Q$ thẳng hàng.

c) Xác định $M$ sao cho $PQ$ có độ dài lớn nhất.

Bài 2:
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong $(O)$. Gọi $M$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$. Đường thẳng $AM$ cắt $(O)$ tại $I$($I$ khác $A$). Gọi $H$ là điểm đối xứng với $I$ qua $BC$.

a) Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

b) Gọi $N$ là giao điểm $BH$ và $AC$. $P$ là điểm thuộc $AB$ sao cho $\widehat{PMB}=\widehat{NMC}$. Chứng minh $C,H,P$ thẳng hàng.

c) Giả sử $BH=2HN$ và $AH=HI$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.

Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=45^{o}$ nội tiếp $(O;R)$. Hai đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$. $M,N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AH$.

a) Chứng minh $B,F,O,E,C$ cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Tính $BC$ theo $R$.

c) Tứ giác $BFOE$ là hình gì? Tại sao?

d) Chứng minh $OH, EF, MN$ đồng quy.

Bài nào giải rồi xin tô đỏ chữ Bài ...:

 

[letsmile519]

Chưa làm nhưng em thấy vầy!!! )

Câu 1 N là gì E là gì vậy bác??

@khoa: Đề mù mịt em chép nhầm sang chỗ khác =))

 

[thinhrost1]

Rồi, trong ra bài thì mình cũng sẽ cho thêm lý thuyết.

Bắt đầu với vài bài dễ nào =))

Bài 1:
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong $(O)$ và có $H$ là trực tâm.

Lấy $M$ trên cung nhỏ $BC$.

a) Xác định $M$ để $HBMC$ là hình bình hành.

b) Với $M$ bất kỳ trên $BC$, gọi $P$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AB$, $Q$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AC$. Chứng minh $P,H,Q$ thẳng hàng.

c) Xác định $M$ sao cho $PQ$ có độ dài lớn nhất.

Mấy cái điểm không liên quan kệ nó đi và MM là điểm M trong câu b) )

a) Ta có AM là đường kính của đường tròn để tứ giác HBMC là hình bình hành

b) Bác thấy đó không thẳng hàng chứng minh sao giờ =))

c) Vì câu b làm k được nên câu c cũng thế =))

Đóng góp vài bài cực dễ ) mấy bác nhớ đăng hình dùm cái )

Bài 4: Đường tròn tâm O và O' có bán kính khác nhau. Hai đường tròn này cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của đường tròn (O') tại B cắt đường tròn (O) ở C và tiếp tyến của (O) tại B cắt (O') ở D.
a) CMR: $\Delta ABC \sim \Delta ADB$
b) CM: $AB^2=AC.AD$ và $\dfrac{BC^2}{BD^2}=\dfrac{AC}{AD}$
c) Tính tỉ số BC:BD theo R, R' với R, R' lần lượt là bán kính của (O) và (O')

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Em ghi nhầm đề 1 chút

Câu b là $M$ bất kỳ trên cugn nhỏ BC

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4 của Thịnh rốt "BTDL" =))

a) $\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}\widehat{AO'B}=\widehat{ADB}$

$\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOB}=\widehat{ACB}$

$\rightarrow \Delta ABC \sim \Delta ADB$

b) Từ câu a ta suy ra được $AB^2=AC.AD$

$\dfrac{BC^2}{BD^2}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADB}}$

Lại có $\widehat{CAB}=\widehat{BAD}$

Áp dụng công thức tính diện tích theo $\sin$ ta thu được điều phải chứng minh.

c) Áp dụng tỉ số lượng giác:

$\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{R\sin \widehat{CAB}}{R'\sin \widehat{BAD}}=\dfrac{R}{R'}$

 

[thinhrost1]

Hai bài còn lại không đủ trình chém đề nghị bác thớt giải ngay và luôn đi ), thêm bài dễ nữa )

Bài 5: Cho AB, AC là hai tiếp tuyến phát xuất từ A đến đường tròn (O). B, C là hai tiếp điểm. Một điểm M di động trên cung nhỏ BC có hình chiếu lên BC, CA, AB là I,H,K. Chứng minh: $MI^2=MH.MK$

Gợi ý: Sử dụng tứ giác nội tiếp )

 

[huynhbachkhoa23]

Hình siêu rối @-)

Câu a:

Chọn $M$ đối xứng với $H$ qua trung điểm $BC$.

Có $MBHC$ là hình bình hành.

Ta chứng minh $M$ thuộc $(O)$: $\widehat{BMC}=\widehat{BHC}=180^{o}-\widehat{BAC}$.

Lại có $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}=90^{o}$

Vậy $AM$ là đường kính.

Câu b:

Áp dụng câu a phần lý thuyết.

Có $H\in (O_1;R); H\in (O_2;R)$

Có $\widehat{PHA}+\widehat{QHA}=360^{o}-(\widehat{APH}+\widehat{AQH}+\widehat{PAQ})=360^{o}-2(sd(AH)+sd(BC))=180^{o}$

Câu c:

$\Delta APQ$ đồng dạng với chính nó khi $M$ đi chuyển.

$PQ$ lớn nhất $\leftrightarrow AP$ lớn nhất $\leftrightarrow AM$ là đường kính. (Lý thuyết ảnh đối xứng, $AP$ lớn nhất thì $AM$ lớn nhất)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Bài này rất dễ nếu nắm được hết các phần lý thuyết ở trực tâm và tạo ra được hệ quả.

Câu a:

Áp dụng câu a bài lý thuyết trực tâm ta có điều phải chứng minh.

Câu b:

Có $BN$ là đường cao.

Hệ quả câu b phần lý thuyết là $\Delta CNM \sim \Delta CBA$

$\rightarrow \widehat{PMB}=\widehat{NMC}=\widehat{BAC}$

$\rightarrow \Delta BMP \sim \Delta BAC$

Lại có $M$ là chân đường cao nên theo câu b phần lý thuyết bắt buộc $P$ là chân đường cao. Vậy $C,H,P$ thẳng hàng.

Câu c:

Có $BH=2HN \rightarrow \Delta ABC$ cân tại $B$.

Lại có $AH=HI \rightarrow AH=2HM \rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.

Vậy $\Delta ABC$ đều.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

Câu a:

Có $\widehat{BFC}=\widehat{BOC}=\widehat{BEC}$ nên $B,F,O,E,C$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Câu b:

Có $OM \bot BC$; $COB$ vuông cân

$\rightarrow BC=2R\sin 45^{o} $

Câu c:

$\Delta FAC$ vuông cân tại $F$, lại có $OA=OC$

$\rightarrow FO \bot AC$

$\rightarrow FO // BE$

Tương tự có $EO \bot AB \rightarrow \widehat{OEB}=\widehat{FBE}=45^{o}$

$\rightarrow BFOE$ là hình thang cân.

Câu d:

Có $\widehat{OFC}=45^{o}$

$\rightarrow FOEH$ là hình bình hành.

Gọi $K$ là giao điểm $FE,OH$

Lại có $NE=NF=\dfrac{AH}{2}; MF=ME=\dfrac{BC}{2}$

Mà $AH=2OM=BC \rightarrow NEMF$ là hình thoi.

Suy ra ba đường thẳng đồng quy.

 

[huynhbachkhoa23]

Hai bài còn lại không đủ trình chém đề nghị bác thớt giải ngay và luôn đi ), thêm bài dễ nữa )

Bài 5: Cho AB, AC là hai tiếp tuyến phát xuất từ A đến đường tròn (O). B, C là hai tiếp điểm. Một điểm M di động trên cung nhỏ BC có hình chiếu lên BC, CA, AB là I,H,K. Chứng minh: $MI^2=MH.MK$

Gợi ý: Sử dụng tứ giác nội tiếp )

Khỏi vẽ hình cũng biết giải:

$BKMI$ và $CIMH$ là 2 tứ giác nội tiếp đồng dạng.

$\rightarrow \dfrac{MI}{MH}=\dfrac{MK}{MI}$ hay $MI^2=MH.MK$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6: Thịnh vào chém bài dễ hơn này.

Cho hình thang cân $ABCD(AB//CD; AB>CD)$ nội tiếp $(O;R)$. Tiếp tuyến tại $A,D$ cắt nhau tại $E$. Gọi I là giao điểm hai đường chéo $BD, CA$

Chứng minh:
1. Tứ giác $AEDI$ nội tiếp.
2. $EI // AB$
3. $EI$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $R,S$ (Roshan =))). Chứng minh:
a) $I$ là trung điểm $RS$
b) $\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{RS}$

 

[lamnguyen.rs]

Cho em góp 1 bài cho vui:
Bài 7:
Cho đường tròn (O). BC là dây cố định. A thuộc cung nhỏ BC sao cho $\widehat{BAC} = 60^0$. Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi I, K, M lần lượt là trung điểm CE, BF, BC.
a) Chứng minh A, K, D, M, I thuộc 1 đường tròn.
b) Tính $\dfrac{BE.CF}{AD}$
c) Tìm vị trí của A để $\Delta MIK$ có diện tích lớn nhất.

 

[huynhbachkhoa23]

Cho em góp 1 bài cho vui:
Bài 7:
Cho đường tròn (O). BC là dây cố định. A thuộc cung nhỏ BC sao cho $\widehat{BAC} = 60^0$. Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi I, K, M lần lượt là trung điểm CE, BF, BC.
a) Chứng minh A, K, D, M, I thuộc 1 đường tròn.
b) Tính $\dfrac{BE.CF}{AD}$
c) Tìm vị trí của A để $\Delta MIK$ có diện tích lớn nhất.

a) Có $\widehat{AKM}=\widehat{AIM}=90^{o}$(Đường trung bình)

Lại có $\Delta BDF \sim \Delta BAC$ và $\Delta CDE \sim \Delta CAB$

$\rightarrow \widehat{AKD}=\widehat{AMC}; \widehat{AID}=\widehat{AMB}$

Suy ra điều phải chứng minh.

b) Câu này là chứng minh $\dfrac{BE.CF}{AD}$ không đổi chứ.

$\dfrac{BE.CF}{AD}=\dfrac{AB.AC.BC.\sin^2 A}{AB.AC.\sin A} =BC.\sin A$ không đổi.

c) Có $\widehat{IMK}=120^{o}$

Ta tìm vị trị $A$ sao cho tích $MI.MK$ lớn nhất hay $BE.CF$ lớn nhất.

Theo câu b có $BE.CF=BC.AD\sin A$ lớn nhất khi $AD$ lớn nhất.

$AD \le AM \le AO+AM$

Vậy $S_{IMK}$ lớn nhất khi $\Delta ABC$ cân.

 

[lamnguyen.rs]

Bài này dễ hơn bài trên chút
Bài 8:
Cho đoạn thẳng BC. M là trung điểm BC. H thuộc BM (H khác B, M). Trên đường thẳng vuông góc BC tại H lấy A sao cho $\widehat{BAH} = \widehat{MAC}$. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt BC tại D. Cho AB = r.
Tính DH.AM theo r.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài này dễ hơn bài trên chút
Bài 8:
Cho đoạn thẳng BC. M là trung điểm BC. H thuộc BM (H khác B, M). Trên đường thẳng vuông góc BC tại H lấy A sao cho $\widehat{BAH} = \widehat{MAC}$. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt BC tại D. Cho AB = r.
Tính DH.AM theo r.

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ (chứng minh thì để ở trong cuốn vở =)) nhưng tài liệu và vở là vô số kể nên không tìm thấy ()

Giờ đưa về tính $BH.BM$ theo $AB$

$BH=AB\sin \alpha$

$AB=BC\sin \alpha = 2AM.\sin \alpha$

$\rightarrow AM=\dfrac{AB}{2\sin \alpha}$

Nhân vào $BH.AM=\dfrac{r^2}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Khôi phục lại pic.

Mấy bài này khó hơn mấy bài trước một chút.

Bài 1: Cho hình vuông $ABCD$ cố định, cạnh $a$. $E$ di chuyển trên $CD$ và $AE, BC$ cắt nhau tại $F$. Đường thẳng vuôn góc với $AE$ tại $A$ cắt đường thẳng $CD$ tại $K$.

(a) Chứng minh: $AF(CK-CF)=BD.FK$

(b) Chứng minh $I$ là trung điểm của $KF$ di động trên một đường thẳng cố định khi $E$ chuyển động trên $CD$.

(c) Chỉ ra $E$ để $EK$ ngắn nhất.

Bài 2: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB=2R$, dây cung $AC$. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $AC$. Đường thẳng qua $C$ song song với $MB$ cắt $AM$ ở $K$ và cắt đường $OM$ ở $D$. $OD$ cắt $AC$ ở $H$.

(a) Chứng minh:
- $CKMH$ nội tiếp.
- $CD=MB$ và $DM=CB$.

(b) Xác định $C$ để $AD$ là tiếp tuyến.

(c) Khi $AD$ là tiếp tuyến. Tính $S_{ADC}$ "ở ngoài $(O)$" theo $R$

 

[phuong_july]

Tặng pic 1 bài
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O:R)
cm: $\frac{BC}{sinA}=\frac{CA}{sinB}=\frac{AB}{sinC}=2R$.
Chủ pic có thể cho thêm 1 số bài tập ở CT Hình 9 HKI được chứ. Phần CT HKII e chưa học đến. Như thế em còn có khả năng động vào mấy bài hình này không thì chịu thật. Đề nghị chữa 2 bài ở trên.
____________
Hi vọng pic có thể đi cùng "năm" tháng.Em thấy phần hình 9 khá khó so với phần đại. Nên đang ra sức luyện hình đây.