Toán 10 $\color{red}{\fbox{BDT}\bigstar\text{Phương Pháp Cân Bằng Hệ Số}\bigstar}$

[quanghao98]

Một số bài tập như trên khi các biểu thức ở dạng đồng bậc và bậc chênh nhau không quá lớn giữa giả thiết và đề bài thì ta có thể linh hoạt sử dụng BDT Holder để có lời giải ngắn gọn hơn:
Ví dụ như bài 9a có thể giải như sau:
$(a^3+8b^3+c^3)(1+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+1)(1+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+1)$\geq $(a+b+c)^3=27$
Bài 10 cũng tương tự như trên:
$(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)$.($\dfrac{1}{4}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{27}{16}$)\geq$(a^2+2b^2+c^3)^3=1$

p/s:Bài 15 trích trong đề thi Vietnam IMO TST 2000.Mình cho trước đáp số và điểm rơi để giải quyết cho mọi người khâu tính toán quan trọng nhất(cách cân bằng mình sẽ đề cập trong bài viết sau)

$MIN P=\dfrac{15}{2}$ khi $x=3;y=\dfrac{5}{2};z=2$

 

[quanghao98]

Một số bài tập như trên khi các biểu thức ở dạng đồng bậc và bậc chênh nhau không quá lớn giữa giả thiết và đề bài thì ta có thể linh hoạt sử dụng BDT Holder để có lời giải ngắn gọn hơn:
Ví dụ như bài 9a có thể giải như sau:
$(a^3+8b^3+c^3)(1+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+1)(1+\dfrac{1}{\sqrt{8}}+1)$\geq $(a+b+c)^3=27$
Bài 10 cũng tương tự như trên:
$(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)$.($\dfrac{1}{4}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{27}{16}$)\geq$(a^2+2b^2+c^3)^3=1$

p/s:Bài 15 trích trong đề thi Vietnam IMO TST 2000.Mình cho trước đáp số và điểm rơi để giải quyết cho mọi người khâu tính toán quan trọng nhất(cách cân bằng mình sẽ đề cập trong bài viết sau)

$MIN P=\dfrac{15}{2}$ khi $x=3;y=\dfrac{5}{2};z=2$

khi đã xác định được điẻm rơi của bài toán thì ta sẽ có:$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{z}{2}$
\Leftrightarrow $\dfrac{x}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{5}{4}=z$.Công việc đến đây chỉ là tách các đơn thức ở giả thiết đảm bảo dấu bằng như trên và sử dụng AM-GM

cách làm của quangltm:

$$2xyz = 3 \frac x{\frac 32} + 5 \frac y {\frac 54} + 7 z \ge 15\sqrt[15]{{{x}^{3}}{{y}^{5}}{{z}^{7}}{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5}}} \\ \implies {{2}^{15}}{{x}^{12}}{{y}^{10}}{{z}^{8}}\ge {{15}^{15}}{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5}}\iff {{x}^{12}}{{y}^{10}}{{z}^{8}}\ge {{\left( \frac{15}{2} \right)}^{15}}{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5}}$$
Nhóm tương tự kiểu trên: $$P \ge \frac {15} 4 \sqrt[15]{{{x}^{6}}{{y}^{5}}{{z}^{4}}{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{6}}{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{5}}} \ge \ldots = \frac {15}2$$

 

[quanghao98]

Cách cân bằng như sau:
Giả sử dấu bằng của bài toán xảy ra khi $x=az$ và $y=bz$.Ta sẽ đi tìm a và b:

$2xyz=2a\dfrac{x}{a}+4b\dfrac{y}{b}+7z$\geq $(2a+4b+7)[(\dfrac{x}{a})^{2a}(\dfrac{y}{b})^{4b}(z)]^{\dfrac{1}{2a+4b+7}}$

\Rightarrow $x^{4b+7}y^{2a+7}z^{2a+4b}$\geq $A_(a;b)$

$x+y+z=a(\dfrac{x}{a})+b(\dfrac{y}{b})+z$\geq $(a+b+1)[(\dfrac{x}{a})^a.(\dfrac{y}{b})^b.(z)^1]^{\dfrac{1}{a+b+1}}$.Đến đây tìm a và b sao cho:

$\left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{1}=\dfrac{4b+7}{2a+4b}\\ \dfrac{b}{1}=\dfrac{2a+7}{2a+4b}\end{matrix}\right.$

Tìm được $a=\dfrac{3}{2}$

$b=\dfrac{5}{4}$
Đến đây thi có nhiều hướng giải quyết:
*a,b vừa tìm được thay trược tiếp vào những đánh giá chưa tham số(BDT AM-GM mở rộng)
*$x=az;y=bz;2x+4y+z=2xyz...$Ta Tìm được điểm rơi cụ thể của bài toán:
$x=3;y=\dfrac{5}{2};z=2$ và đánh giá như cách mình đã trinh bày ở trên.

 

[hoang_duythanh]

$\dfrac{19+\sqrt{1441}}{30}x^2+\dfrac{-31+\sqrt{1441}}{20}y^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}xy$

$\dfrac{71-\sqrt{1441}}{20}y^2+\dfrac{2}{5}z^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}yz$

$\dfrac{3}{5}z^2+\dfrac{71-\sqrt{1441}}{30}x^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}xz$

$\Rightarrow 3x^2+2y^2+z^2 \ge \dfrac{\sqrt{131}-\sqrt{11}}{5}$

Quay lại mấy bài này tí ,t thấy mẹo cách tách này có vẻ chưa ổn đâu bỏi vì t thử mấy bài rồi ,,tách theo kiểu $\frac{ab}{b+c}$;.... này thì toàn thấy dấu "="ko xảy ra thôi ,,ko tìm dc x,y,z nên t nghĩ phải xem lại cách này tí nhé !!!

 

[quanghao98]

Quay lại mấy bài này tí ,t thấy mẹo cách tách này có vẻ chưa ổn đâu bỏi vì t thử mấy bài rồi ,,tách theo kiểu $\frac{ab}{b+c}$;.... này thì toàn thấy dấu "="ko xảy ra thôi ,,ko tìm dc x,y,z nên t nghĩ phải xem lại cách này tí nhé !!!

Cậu thử trình bày cách của mình lên xem,đối với bài tập bất đẳng thức mà 3 hệ số khác nhau cũng còn 1 số cách cân bằng khác không chỉ là mẹo như thế này,cũng có số cách tách khác
Bài mà bạn trích của vansang là đúng rồi đó.đẳng thức xảy ra khi nào không quan trọng vì:
Bài này bạn ấy làm theo cách tách hệ số và cân bằng trước không cần tính toán điểm rơi trước xong mới cân bằng.Nếu là theo phương pháp tính điểm rơi cụ thể $x=a,y=b,z=c$ hay $x=\alpha.z;y=\beta.z$ thì dẫn đến việc giải hệ thì sẽ khó khăn đấy.Mình cũng có thể up hướng giải của bạn ấy (nếu cần)

 

[hoang_duythanh]

Cậu thử trình bày cách của mình lên xem,đối với bài tập bất đẳng thức mà 3 hệ số khác nhau cũng còn 1 số cách cân bằng khác không chỉ là mẹo như thế này,cũng có số cách tách khác
Bài mà bạn trích của vansang là đúng rồi đó.đẳng thức xảy ra khi nào không quan trọng vì:
Bài này bạn ấy làm theo cách tách hệ số và cân bằng trước không cần tính toán điểm rơi trước xong mới cân bằng.Nếu là theo phương pháp tính điểm rơi cụ thể $x=a,y=b,z=c$ hay $x=\alpha.z;y=\beta.z$ thì dẫn đến việc giải hệ thì sẽ khó khăn đấy.Mình cũng có thể up hướng giải của bạn ấy (nếu cần)

nhưng mà dấu "=" mình tìm thì ko xảy ra dc nên kết quả đấy có thể ko chính xác ,,bạn thử tìm dấu = xảy ra xem ,cũng có thể mình tìm sai đó mà !!
về kiểu này mình có tìm dc trên mạng cái này ,bạn xem thử đi
Ta có: xy+yz+zx=1=>x+y+z≥1
với các số a,b,c>0 ta có:
$x^2+a≥2x\sqrt[]{a}$
$my^2+b≥2y\sqrt[]{bm}$
$nz^2+c$\geq $2z\sqrt[]{nc}$
Ta sẽ tìm các số a,b,c sao cho: $\sqrt[]{a}=\sqrt[]{bm}=\sqrt[]{nc}$ (1)
và $\sqrt[]{\frac{ab}{m}}+\sqrt[]{\frac{ac}{n}}+\sqrt[]{\frac{bc}{mn}}=1$(2)
Từ (1) và (2) ta tìm được
$a=\frac{mn}{m+n+1}$
$b=\frac{mn}{m(m+n+1)}$
$c=\frac{mn}{n(m+n+1)}$
xong rồi cùng rút ra mẹo giải mấy bài tập dạng này

 

[quanghao98]

nhưng mà dấu "=" mình tìm thì ko xảy ra dc nên kết quả đấy có thể ko chính xác ,,bạn thử tìm dấu = xảy ra xem ,cũng có thể mình tìm sai đó mà !!
về kiểu này mình có tìm dc trên mạng cái này ,bạn xem thử đi
Ta có: xy+yz+zx=1=>x+y+z≥1
với các số a,b,c>0 ta có:
$x^2+a≥2x\sqrt[]{a}$
$my^2+b≥2y\sqrt[]{bm}$
$nz^2+c$\geq $2z\sqrt[]{nc}$
Ta sẽ tìm các số a,b,c sao cho: $\sqrt[]{a}=\sqrt[]{bm}=\sqrt[]{nc}$ (1)
và $\sqrt[]{\frac{ab}{m}}+\sqrt[]{\frac{ac}{n}}+\sqrt[]{\frac{bc}{mn}}=1$(2)
Từ (1) và (2) ta tìm được
$a=\frac{mn}{m+n+1}$
$b=\frac{mn}{m(m+n+1)}$
$c=\frac{mn}{n(m+n+1)}$
xong rồi cùng rút ra mẹo giải mấy bài tập dạng này

Bài làm như thế này là nhầm rồi $x+y+z=1$\Rightarrow $xy+yz+xz$\geq $1$.Dấu bằng xảy ra khi:
$x=y=z$.Thực tế thì không xảy ra vì $x,y,z$ ở 3 điểm rơi khác nhau do các hệ số khác nhau.$x+y+z>1$
ở bài 10 thì nhóm như sau:
$ay^2+bz^2$ \geq ...
$(2-a)y^2+2x^2$ \geq...
$(1-b)z^2+x^2$ \geq ...
\Rightarrow $3x^2+2y^2+z^2...$.Ở đây,mẹo là tách $3x^2=2x^2+x^2$ theo công thức trên và cân bằng trước ở VT,chỉ cần tìm điều kiện cân bằng của tham số sẽ ra phương trình bậc hai thôi

 

[congchuaanhsang]

Mọi người hãy thử giải bài bđt trong đề thi này
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2462487#post2462487

 

[quanghao98]

Khởi động với một bài BDT sử dụng phương pháp này nhưng có kết quả khá đẹp:
Cho a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ac=3$.Tìm Min:
$P=5a^2+2b^2+c^2$
Đáp án:Min=6

 

[thuyanh_tls1417]

Khởi động với một bài BDT sử dụng phương pháp này nhưng có kết quả khá đẹp:
Cho a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ac=3$.Tìm Min:
$P=5a^2+2b^2+c^2$
Đáp án:Min=6

Bài này cân bằng theo CBS

Có: $6a^2+3b^2+2c^2 = \dfrac{a^2}{\dfrac{1}{6}}+\dfrac{b^2}{\dfrac{1}{3}}+\dfrac{c^2}{\dfrac{1}{2}} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}=(a+b+c)^2$

\Leftrightarrow $P \ge 2(ab+bc+ca)=6$