Toán 10 $\color{red}{\bigstar\text{Bất Phương Trình Vô Tỉ}\bigstar}$

[hien_vuthithanh]

15) $(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}\le 6$

Đk $ \left[\begin{matrix} x\ge \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\\ x\le \dfrac{-5-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $x^2+5x+4 -3\sqrt{x^2+5x+2}\le 6$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+2}=t (t \ge 0)$

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow $t^2-3t-4 \le 0$ \Leftrightarrow $ -1 \le t \le 4$

\Leftrightarrow $-1 \le \sqrt{x^2+5x+2} \le 4$

Kết hợp dk \Rightarrow$0 \le \sqrt{x^2+5x+2} \le 4$

\Rightarrow $\sqrt{x^2+5x+2} \le 4$

\Leftrightarrow $x^2+5x-14 \le 0$ \Leftrightarrow $ -7 \le x\le 2$

Kết hợp dk \Rightarrow $ \left[\begin{matrix} -7 \le x \le\dfrac{-5-\sqrt{17}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{17}-5}{2} \le x \le 2\end{matrix}\right.$

 

[hien_vuthithanh]

16) $x^2+2x\le 4\sqrt{2x^2+4x+3}-5$

Đk \forall $x$

\Leftrightarrow $2x^2+4x\le 8\sqrt{2x^2+4x+3}-10$

Đặt $\sqrt{2x^2+4x+3} =t ( t \ge 1)$

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow $t^2-8t+7 \le 0$ \Leftrightarrow $1\le t \le 7$

Kết hợp dk \Rightarrow $1\le t \le 7$

\Leftrightarrow $1\le \sqrt{2x^2+4x+3} \le 7$

\Leftrightarrow$ 1 \le 2x^2+4x+3 \le 7$ \Leftrightarrow $ -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}$

Kết hợp dk \Rightarrow $ -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}$

 

[hien_vuthithanh]

17) $2x^2+\sqrt{(x+1)(x-6)}>10x+15$

Đk $ \left[\begin{matrix} x> 6\\ x < -1\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{(x+1)(x-6)}=t ( t\ge 0)$

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow $2t^2+t-3 > 0$ \Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix} t > 1\\ t < \dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.$

Kết hợp dk \Rightarrow $ t> 1$ \Leftrightarrow $\sqrt{x^2-5x-6} > 1$

\Leftrightarrow $x^2-5x-7 > 0$ \Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix} x >\dfrac{5+\sqrt{53}}{2}\\ x < \dfrac{5-\sqrt{53}}{2}\end{matrix}\right.$

Kết hợp dk \Rightarrow $ \left[\begin{matrix} x >\dfrac{5+\sqrt{53}}{2}\\ x < \dfrac{5-\sqrt{53}}{2}\end{matrix}\right.$

 

[hien_vuthithanh]

18) $\dfrac{x}{x+1}-2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}>3$

Đk $ \left[\begin{matrix} x>0\\ x \le -1\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=t (t \ge 0)$

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow $1-2t^3-3t^2 >0$ \Leftrightarrow $ t < \dfrac{1}{2}$

Kết hợp \Rightarrow $ 0 \le t < \dfrac{1}{2}$ \Leftrightarrow $0 \le \sqrt{\dfrac{x+1}{x}} < \dfrac{1}{2}$ \Leftrightarrow $\dfrac{-4}{3} < x \le -1$

Kết hợp \Rightarrow $\dfrac{-4}{3} < x \le -1$

 

[lp_qt]

20) $\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}+2\sqrt[3]{\dfrac{x-2}{x+1}}-6\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}}\le 4$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}x \ne -1 & \\ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 & \end{matrix}\right.$ \Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x \ge 2 & \\ x< -1 & \end{bmatrix}$

đặt $t=\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}} (t \ge 0)$
\Rightarrow $t^{3}+2t-6t-4\le 0$

\Leftrightarrow $(t-2)(t^{2}+4t+2)\le 0$

\Leftrightarrow $t-2 \le 0$ (vì $t \ge 0)$

\Leftrightarrow $t \le 2$
\Leftrightarrow $\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}}\le 2$

\Leftrightarrow $\dfrac{x-2}{x+1}\le 64$

\Leftrightarrow $\dfrac{63x+66}{x+1}\ge 0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x>-1 & \\ x\le \dfrac{-66}{63} & \end{bmatrix}$

kết hợp ĐKXĐ \Rightarrow $\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}x\ge 2 & \\ x<-1 & \end{bmatrix}& \\ \begin{bmatrix}x>-1 & \\ x\le \dfrac{-66}{63} & \end{bmatrix} &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x\ge 2 & \\ x\le \dfrac{-66}{63} & \end{bmatrix}$

 

[viethoang1999]

Đk \forall $x$

\Leftrightarrow $2x^2+4x\le 8\sqrt{2x^2+4x+3}-10$

Đặt $\sqrt{2x^2+4x+3} =t ( t \ge 1)$

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow $t^2-8t+7 \le 0$ \Leftrightarrow $1\le t \le 7$

Kết hợp dk \Rightarrow $1\le t \le 7$

\Leftrightarrow $1\le \sqrt{2x^2+4x+3} \le 7$

\Leftrightarrow$ 1 \le 2x^2+4x+3 \le 7$ \Leftrightarrow $ -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}$

Kết hợp dk \Rightarrow $ -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}$

Bài này làm sai rồi, bạn thường bình phương 1 vế còn 1 vế thì không bình phương (ở chỗ bôi đỏ, dùng cái này kiểm tra lại cho chắc rồi trả lời nhé: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+2x\le+4\sqrt{2x^2+4x+3}-5 )

Chỗ trên sửa lại là $49$ thì đáp án là $x\in [-1-2\sqrt{6};-1+2\sqrt{6}]$

 

[viethoang1999]

Đk $ \left[\begin{matrix} x>0\\ x \le -1\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=t (t \ge 0)$

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow $1-2t^3-3t^2 >0$ \Leftrightarrow $ t < \dfrac{1}{2}$

Kết hợp \Rightarrow $ 0 \le t < \dfrac{1}{2}$ \Leftrightarrow $0 \le \sqrt{\dfrac{x+1}{x}} < \dfrac{1}{2}$ \Leftrightarrow $\dfrac{-4}{3} < x \le -1$

Kết hợp \Rightarrow $\dfrac{-4}{3} < x \le -1$

ĐKXĐ phải có thêm $x\ne -1$ nữa, kết quả là $x\in \left ( \dfrac{-4}{3};-1 \right )$

 

[viethoang1999]

19) $\dfrac{6x}{x-2}-\sqrt{\dfrac{12x}{x-2}}-2\sqrt[4]{\dfrac{12x}{x-2}}\ge 0$
21) $5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-2x<\dfrac{1}{2x}+4$

19) Tương tự câu 20, kết quả: $S={0}\cup (2;8]$

21)
BPT\Leftrightarrow $5 \left ( \sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right )<2 \left (x+\frac{1}{4x} \right ) +4$
+ Đặt $\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=t>0$
\Rightarrow $x+\dfrac{1}{4x}=t^2-1$

+ BPT trở thành: $2t^2-5t+2>0$

Kết quả là $S=\left ( 0;\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2} \right ) \cup \big (\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}; +$\infty$ \big )$

 

[viethoang1999]

22) $x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2<0$
23) $(4x-1)\sqrt{x^3+1}\le 2x^3+2x+1$
24) $x^2-1\ge 2x\sqrt{x^2-2x}$
25) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}<181-14x$
26) $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}>4-2x$
27) $\sqrt{2x^2+12x+6}-\sqrt{2x-1}\ge x+2$
28) $2\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2}\ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}$

Bài làm rồi được tô màu đỏ


P/s: TOPIC vắng quá, gọi thêm người giúp mình với.

 

[vipboycodon]

22) $x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2 < 0 (Đk: x \ge -1)$
$\leftrightarrow x^2(x+1)+3\sqrt{x^2(x+1)}+2 < 0$ (*)
Đặt $x^2(x+1) = t $
(*) $\rightarrow t^2+3t+2 < 0$
$\leftrightarrow -2 < t < -1$
...

28) $2\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2} \ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}$ (*) (*)
Đk: $x \ge \dfrac{2}{3}$
Đặt $\sqrt{3x-2} = a \ge 0$ , $\sqrt{x+2} = b \ge 0$
(*) (*) $\rightarrow 2a+b \ge 3\sqrt{ab}$
$\leftrightarrow (2\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \ge 0$
...

 

[forum_]

22) $x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2<0$
23) $(4x-1)\sqrt{x^3+1}\le 2x^3+2x+1$
24) $x^2-1\ge 2x\sqrt{x^2-2x}$
25) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}<181-14x$
26) $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}>4-2x$
27) $\sqrt{2x^2+12x+6}-\sqrt{2x-1}\ge x+2$
28) $2\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2}\ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}$

23/

ĐK : .....

Đặt : $\sqrt{x^3+1}=t$

BPT viết lại : $(4x-1)t$ \leq $2t^2+2x-1$

\Leftrightarrow $(t-2x+1)(2t-1)$ \geq 0 \Leftrightarrow ....$continue$....

24/

ĐK : ....

BPT \Leftrightarrow $(\sqrt{x^2-2x}-2x+1)(\sqrt{x^2-2x}-1)$ \geq 0

\Leftrightarrow .......$continue$.......

 

[eye_smile]

27, ĐKXĐ: $x \ge \dfrac{1}{2}$

Đặt $a=x+2;b=\sqrt{2x-1}$ ($a;b \ge 0$)

BPT trở thành:

$\sqrt{2a^2+2b^2} -b \ge a$

\Leftrightarrow $\sqrt{2a^2+2b^2} \ge a+b$

\Leftrightarrow $2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$ (luôn đúng )

\Rightarrow Nghiệm $x \ge \dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

26,ĐKXĐ: $x \ge 1$

BPT \Leftrightarrow $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{2x^2+4x-6} > (1-x)+(-3-x)+6$

\Leftrightarrow $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{(x-1)^2+(x+3)^2-16}>(1-x)+(-3-x)+6$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+3}=b$ ($a \ge 0;b \ge 2$ )

BPT trở thành:

$a+b+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>-a^2-b^2+6$

\Leftrightarrow $a+b+a^2+b^2+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>6$

Do $a \ge 0;b \ge 2$ nên $a+b+a^2+b^2 \ge 6$

Nghiệm $x>1$

 

[forum_]

22) $x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2<0$
23) $(4x-1)\sqrt{x^3+1}\le 2x^3+2x+1$
24) $x^2-1\ge 2x\sqrt{x^2-2x}$
25) $\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}<181-14x$
26) $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}>4-2x$
27) $\sqrt{2x^2+12x+6}-\sqrt{2x-1}\ge x+2$
28) $2\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2}\ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}$

25/

Còn câu làm nốt

ĐK : .........

BPT \Leftrightarrow $(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6} -13)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6} +14)$ < 0

 

[viethoang1999]

22) $x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2 < 0 (Đk: x \ge -1)$
$\leftrightarrow x^2(x+1)+3\sqrt{x^2(x+1)}+2 < 0$ (*)
Đặt $x^2(x+1) = t $
(*) $\rightarrow t^2+3t+2 < 0$
$\leftrightarrow -2 < t < -1$
...

28) $2\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2} \ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}$ (*) (*)
Đk: $x \ge \dfrac{2}{3}$
Đặt $\sqrt{3x-2} = a \ge 0$ , $\sqrt{x+2} = b \ge 0$
(*) (*) $\rightarrow 2a+b \ge 3\sqrt{ab}$
$\leftrightarrow (2\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \ge 0$
...

22) Kết quả: Pt vô nghiệm
28) Kết quả: $S=[2;+$\infty$) \cup \left [ \dfrac{2}{3};\dfrac{34}{47} \right]$

 

[viethoang1999]

23/

ĐK : .....

Đặt : $\sqrt{x^3+1}=t$

BPT viết lại : $(4x-1)t$ \leq $2t^2+2x-1$

\Leftrightarrow $(t-2x+1)(2t-1)$ \geq 0 \Leftrightarrow ....$continue$....

24/

ĐK : ....

BPT \Leftrightarrow $(\sqrt{x^2-2x}-2x+1)(\sqrt{x^2-2x}-1)$ \geq 0

\Leftrightarrow .......$continue$.......

23) Tiếp theo ta xét trường hợp:
+ Nếu $2x-1\ge \dfrac{1}{2}$ thì BPT trở thành $t\le \dfrac{1}{2}$ hoặc $t\ge 2x-1$
(Vì BPT có 2 nghiệm là $t=2x-1$ và $t=\dfrac{1}{2}$ thì $t$ lớn hơn nghiệm lớn hoặc $t$ nhỏ hơn nghiệm nhỏ)
+ Nếu $2x-1\le \dfrac{1}{2}$
...

Kết quả: $S=[ -\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}} ; +$\infty $]$

24) Xét trường hợp tương tự bài 23.

Kết quả: $S=[2;1+\sqrt{2}]\cup (-$\infty$;1-\sqrt{2})$

 

[viethoang1999]

25/

Còn câu làm nốt

ĐK : .........

BPT \Leftrightarrow $(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}-13)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+14)$ < 0

Kết quả: $S=\left [ \dfrac{6}{7};6 \right )$

26,ĐKXĐ: $x \ge 1$

BPT \Leftrightarrow $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{2x^2+4x-6} > (1-x)+(-3-x)+6$

\Leftrightarrow $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{(x-1)^2+(x+3)^2-16}>(1-x)+(-3-x)+6$

Đặt $\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+3}=b$ ($a \ge 0;b \ge 2$ )

BPT trở thành:

$a+b+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>-a^2-b^2+6$

\Leftrightarrow $a+b+a^2+b^2+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>6$

Do $a \ge 0;b \ge 2$ nên $a+b+a^2+b^2 \ge 6$

Nghiệm $x>1$

Cách khác: Đặt $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=t>0$
BPT trở thành: $t+t^2-2x-2>4-2x$ \Leftrightarrow ...

Kết quả: $S=(1;+$\infty)

 

[viethoang1999]

29) $\sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{14+x}\ge 2$
30) $x-1\ge x(\sqrt{x-1}-\sqrt{x})+\sqrt{x^2-x}$
31) $\sqrt{x}\ge 1+\sqrt[3]{x-1}$
32) $\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}\ge 1$


Mấy bài biện luận bpt:

33) Cho bpt: $-4\sqrt{-x^2+2x+8}\le -x^2+2x+m-18$ $(1)$
a) Tìm $m$ để bpt có nghiệm
b) Tìm m để bpt có nghiệm với mọi $x\in [-2;3]$

34) Cho bpt: $\sqrt{x+5}+\sqrt{-x-3}\ge 1+\sqrt{-x^2-8x-15}-2m$ $(1)$
a) Tìm $m$ để bpt có nghiệm
b) Tìm $m$ để bpt có nghiệm mọi $x\in[-5;-3]$

Bài làm rồi được tô màu đỏ.

 

[lp_qt]

33) Cho bpt: $-4\sqrt{-x^2+2x+8}\le -x^2+2x+m-18$ $(1)$
a) Tìm $m$ để bpt có nghiệm
b) Tìm m để bpt có nghiệm với mọi $x\in [-2;3]$

ĐKXĐ : $-2 \le x \le 4$

đặt $t=\sqrt{-x^2+2x+8} (0 \le t \le 3)$

a.

bpt $(1)$ có nghiệm \Leftrightarrow $f(t)= t^2+4t+10 \ge -m$ có nghiệm $t \in [0;3]$

vẽ bảng biến thiên của $f(x)$ trên $[0;3]$ ta được $10 \le t \le 31$

vậy giá trị $m$ thỏa mãn là m $\le 10$

b.

với $x\in [-2;3]$ thì $0 \le t \le 3$

bpt $(1)$ có nghiệm với mọi $x\in [-2;3]$ \Leftrightarrow $f(t)= t^2+4t+10 \ge -m$ nghiệm đúng \forall $t \in [0;3]$