Toán 10 Baˆˊt Phương Trıˋnh Voˆ Tỉ\color{red}{\bigstar\text{Bất Phương Trình Vô Tỉ}\bigstar}

H

hien_vuthithanh

15) (x+4)(x+1)3x2+5x+26(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}\le 6

Đk [x1752x5172 \left[\begin{matrix} x\ge \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\\ x\le \dfrac{-5-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow x2+5x+43x2+5x+26x^2+5x+4 -3\sqrt{x^2+5x+2}\le 6

Đặt x2+5x+2=t(t0)\sqrt{x^2+5x+2}=t (t \ge 0)

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow t23t40t^2-3t-4 \le 0 \Leftrightarrow 1t4 -1 \le t \le 4

\Leftrightarrow 1x2+5x+24-1 \le \sqrt{x^2+5x+2} \le 4

Kết hợp dk \Rightarrow0x2+5x+240 \le \sqrt{x^2+5x+2} \le 4

\Rightarrow x2+5x+24\sqrt{x^2+5x+2} \le 4

\Leftrightarrow x2+5x140x^2+5x-14 \le 0 \Leftrightarrow 7x2 -7 \le x\le 2

Kết hợp dk \Rightarrow [7x51721752x2 \left[\begin{matrix} -7 \le x \le\dfrac{-5-\sqrt{17}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{17}-5}{2} \le x \le 2\end{matrix}\right.
 
Last edited by a moderator:
H

hien_vuthithanh

16) x2+2x42x2+4x+35x^2+2x\le 4\sqrt{2x^2+4x+3}-5

Đk \forall xx

\Leftrightarrow 2x2+4x82x2+4x+3102x^2+4x\le 8\sqrt{2x^2+4x+3}-10

Đặt 2x2+4x+3=t(t1)\sqrt{2x^2+4x+3} =t ( t \ge 1)

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow t28t+70t^2-8t+7 \le 0 \Leftrightarrow 1t71\le t \le 7

Kết hợp dk \Rightarrow 1t71\le t \le 7

\Leftrightarrow 12x2+4x+371\le \sqrt{2x^2+4x+3} \le 7

\Leftrightarrow12x2+4x+37 1 \le 2x^2+4x+3 \le 7 \Leftrightarrow 13x1+3 -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}

Kết hợp dk \Rightarrow 13x1+3 -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}
 
H

hien_vuthithanh

17) 2x2+(x+1)(x6)>10x+152x^2+\sqrt{(x+1)(x-6)}>10x+15

Đk [x>6x<1 \left[\begin{matrix} x> 6\\ x < -1\end{matrix}\right.

Đặt (x+1)(x6)=t(t0)\sqrt{(x+1)(x-6)}=t ( t\ge 0)

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow 2t2+t3>02t^2+t-3 > 0 \Leftrightarrow [t>1t<32 \left[\begin{matrix} t > 1\\ t < \dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.

Kết hợp dk \Rightarrow t>1 t> 1 \Leftrightarrow x25x6>1\sqrt{x^2-5x-6} > 1

\Leftrightarrow x25x7>0x^2-5x-7 > 0 \Leftrightarrow [x>5+532x<5532 \left[\begin{matrix} x >\dfrac{5+\sqrt{53}}{2}\\ x < \dfrac{5-\sqrt{53}}{2}\end{matrix}\right.

Kết hợp dk \Rightarrow [x>5+532x<5532 \left[\begin{matrix} x >\dfrac{5+\sqrt{53}}{2}\\ x < \dfrac{5-\sqrt{53}}{2}\end{matrix}\right.
 
H

hien_vuthithanh

18) xx+12x+1x>3\dfrac{x}{x+1}-2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}>3

Đk [x>0x1 \left[\begin{matrix} x>0\\ x \le -1\end{matrix}\right.

Đặt x+1x=t(t0)\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=t (t \ge 0)

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow 12t33t2>01-2t^3-3t^2 >0 \Leftrightarrow t<12 t < \dfrac{1}{2}

Kết hợp \Rightarrow 0t<12 0 \le t < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0x+1x<120 \le \sqrt{\dfrac{x+1}{x}} < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 43<x1\dfrac{-4}{3} < x \le -1

Kết hợp \Rightarrow 43<x1\dfrac{-4}{3} < x \le -1
 
L

lp_qt


20) x2x+1+2x2x+136x2x+164\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}+2\sqrt[3]{\dfrac{x-2}{x+1}}-6\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}}\le 4

ĐKXĐ: {x1x2x+10\left\{\begin{matrix}x \ne -1 & \\ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow [x2x<1]\begin{bmatrix}x \ge 2 & \\ x< -1 & \end{bmatrix}

đặt t=x2x+16(t0)t=\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}} (t \ge 0)
\Rightarrow t3+2t6t40t^{3}+2t-6t-4\le 0

\Leftrightarrow (t2)(t2+4t+2)0(t-2)(t^{2}+4t+2)\le 0

\Leftrightarrow t20t-2 \le 0 (vì t0)t \ge 0)

\Leftrightarrow t2t \le 2
\Leftrightarrow x2x+162\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}}\le 2

\Leftrightarrow x2x+164\dfrac{x-2}{x+1}\le 64

\Leftrightarrow 63x+66x+10\dfrac{63x+66}{x+1}\ge 0

\Leftrightarrow [x>1x6663]\begin{bmatrix}x>-1 & \\ x\le \dfrac{-66}{63} & \end{bmatrix}

kết hợp ĐKXĐ \Rightarrow {[x2x<1][x>1x6663]\left\{\begin{matrix}\begin{bmatrix}x\ge 2 & \\ x<-1 & \end{bmatrix}& \\ \begin{bmatrix}x>-1 & \\ x\le \dfrac{-66}{63} & \end{bmatrix} &\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow [x2x6663]\begin{bmatrix}x\ge 2 & \\ x\le \dfrac{-66}{63} & \end{bmatrix}
 
V

viethoang1999

Đk \forall xx

\Leftrightarrow 2x2+4x82x2+4x+3102x^2+4x\le 8\sqrt{2x^2+4x+3}-10

Đặt 2x2+4x+3=t(t1)\sqrt{2x^2+4x+3} =t ( t \ge 1)

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow t28t+70t^2-8t+7 \le 0 \Leftrightarrow 1t71\le t \le 7

Kết hợp dk \Rightarrow 1t71\le t \le 7

\Leftrightarrow 12x2+4x+371\le \sqrt{2x^2+4x+3} \le 7

\Leftrightarrow12x2+4x+37 1 \le 2x^2+4x+3 \le 7
\Leftrightarrow 13x1+3 -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}

Kết hợp dk \Rightarrow 13x1+3 -1-\sqrt{3} \le x \le -1+\sqrt{3}

Bài này làm sai rồi, bạn thường bình phương 1 vế còn 1 vế thì không bình phương (ở chỗ bôi đỏ, dùng cái này kiểm tra lại cho chắc rồi trả lời nhé: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+2x\le+4\sqrt{2x^2+4x+3}-5 )

Chỗ trên sửa lại là 4949 thì đáp án là x[126;1+26]x\in [-1-2\sqrt{6};-1+2\sqrt{6}]
 
V

viethoang1999

Đk [x>0x1 \left[\begin{matrix} x>0\\ x \le -1\end{matrix}\right.

Đặt x+1x=t(t0)\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=t (t \ge 0)

\Rightarrow bpt \Leftrightarrow 12t33t2>01-2t^3-3t^2 >0 \Leftrightarrow t<12 t < \dfrac{1}{2}

Kết hợp \Rightarrow 0t<12 0 \le t < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0x+1x<120 \le \sqrt{\dfrac{x+1}{x}} < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 43<x1\dfrac{-4}{3} < x \le -1

Kết hợp \Rightarrow 43<x1\dfrac{-4}{3} < x \le -1


ĐKXĐ phải có thêm x1x\ne -1 nữa, kết quả là x(43;1)x\in \left ( \dfrac{-4}{3};-1 \right )
 
V

viethoang1999


19) 6xx212xx2212xx240\dfrac{6x}{x-2}-\sqrt{\dfrac{12x}{x-2}}-2\sqrt[4]{\dfrac{12x}{x-2}}\ge 0
21) 5x+52x2x<12x+45\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-2x<\dfrac{1}{2x}+4


19) Tương tự câu 20, kết quả: S=0(2;8]S={0}\cup (2;8]

21)
BPT\Leftrightarrow 5(x+12x)<2(x+14x)+45 \left ( \sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \right )<2 \left (x+\frac{1}{4x} \right ) +4
+ Đặt x+12x=t>0\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=t>0
\Rightarrow x+14x=t21x+\dfrac{1}{4x}=t^2-1

+ BPT trở thành: 2t25t+2>02t^2-5t+2>0

Kết quả là S=(0;3222)(3+222;+S=\left ( 0;\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2} \right ) \cup \big (\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}; +\infty) \big )
 
V

viethoang1999

22) x3+x2+3xx+1+2<0x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2<0
23) (4x1)x3+12x3+2x+1(4x-1)\sqrt{x^3+1}\le 2x^3+2x+1
24) x212xx22xx^2-1\ge 2x\sqrt{x^2-2x}
25) 7x+7+7x6+249x2+7x42<18114x\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}<181-14x
26) x1+x+3+2x2+2x3>42x\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}>4-2x
27) 2x2+12x+62x1x+2\sqrt{2x^2+12x+6}-\sqrt{2x-1}\ge x+2
28) 23x2+x+23(3x2)(x+2)42\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2}\ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}

Bài làm rồi được tô màu đỏ


P/s: TOPIC vắng quá, gọi thêm người giúp mình với.
 
Last edited by a moderator:
V

vipboycodon

22) x3+x2+3xx+1+2<0(Đk:x1)x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2 < 0 (Đk: x \ge -1)
x2(x+1)+3x2(x+1)+2<0\leftrightarrow x^2(x+1)+3\sqrt{x^2(x+1)}+2 < 0 (*)
Đặt x2(x+1)=tx^2(x+1) = t
(*) t2+3t+2<0\rightarrow t^2+3t+2 < 0
2<t<1\leftrightarrow -2 < t < -1
...

28) 23x2+x+23(3x2)(x+2)42\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2} \ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)} (*) (*)
Đk: x23x \ge \dfrac{2}{3}
Đặt 3x2=a0\sqrt{3x-2} = a \ge 0 , x+2=b0\sqrt{x+2} = b \ge 0
(*) (*) 2a+b3ab\rightarrow 2a+b \ge 3\sqrt{ab}
(2ab)(ab)0\leftrightarrow (2\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \ge 0
...
 
F

forum_

22) x3+x2+3xx+1+2<0x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2<0
23) (4x1)x3+12x3+2x+1(4x-1)\sqrt{x^3+1}\le 2x^3+2x+1
24) x212xx22xx^2-1\ge 2x\sqrt{x^2-2x}
25) 7x+7+7x6+249x2+7x42<18114x\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}<181-14x
26) x1+x+3+2x2+2x3>42x\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}>4-2x
27) 2x2+12x+62x1x+2\sqrt{2x^2+12x+6}-\sqrt{2x-1}\ge x+2
28) 23x2+x+23(3x2)(x+2)42\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2}\ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}

23/

ĐK : .....

Đặt : x3+1=t\sqrt{x^3+1}=t

BPT viết lại : (4x1)t(4x-1)t \leq 2t2+2x12t^2+2x-1

\Leftrightarrow (t2x+1)(2t1)(t-2x+1)(2t-1) \geq 0 \Leftrightarrow ....continuecontinue....

24/

ĐK : ....

BPT \Leftrightarrow (x22x2x+1)(x22x1)(\sqrt{x^2-2x}-2x+1)(\sqrt{x^2-2x}-1) \geq 0

\Leftrightarrow .......continuecontinue.......
 
Last edited by a moderator:
E

eye_smile

27, ĐKXĐ: x12x \ge \dfrac{1}{2}

Đặt a=x+2;b=2x1a=x+2;b=\sqrt{2x-1} (a;b0a;b \ge 0)

BPT trở thành:

2a2+2b2ba\sqrt{2a^2+2b^2} -b \ge a

\Leftrightarrow 2a2+2b2a+b\sqrt{2a^2+2b^2} \ge a+b

\Leftrightarrow 2(a2+b2)(a+b)22(a^2+b^2) \ge (a+b)^2 (luôn đúng )

\Rightarrow Nghiệm x12x \ge \dfrac{1}{2}
 
E

eye_smile

26,ĐKXĐ: x1x \ge 1

BPT \Leftrightarrow x1+x+3+2.2x2+4x6>(1x)+(3x)+6\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{2x^2+4x-6} > (1-x)+(-3-x)+6

\Leftrightarrow x1+x+3+2.(x1)2+(x+3)216>(1x)+(3x)+6\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{(x-1)^2+(x+3)^2-16}>(1-x)+(-3-x)+6

Đặt x1=a;x+3=b\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+3}=b (a0;b2a \ge 0;b \ge 2 )

BPT trở thành:

a+b+2.a4+b416>a2b2+6a+b+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>-a^2-b^2+6

\Leftrightarrow a+b+a2+b2+2.a4+b416>6a+b+a^2+b^2+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>6

Do a0;b2a \ge 0;b \ge 2 nên a+b+a2+b26a+b+a^2+b^2 \ge 6

Nghiệm x>1x>1
 
F

forum_

22) x3+x2+3xx+1+2<0x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2<0
23) (4x1)x3+12x3+2x+1(4x-1)\sqrt{x^3+1}\le 2x^3+2x+1
24) x212xx22xx^2-1\ge 2x\sqrt{x^2-2x}
25) 7x+7+7x6+249x2+7x42<18114x\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+2\sqrt{49x^2+7x-42}<181-14x
26) x1+x+3+2x2+2x3>42x\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}>4-2x
27) 2x2+12x+62x1x+2\sqrt{2x^2+12x+6}-\sqrt{2x-1}\ge x+2
28) 23x2+x+23(3x2)(x+2)42\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2}\ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)}

25/

Còn câu làm nốt ;)

ĐK : .........

BPT \Leftrightarrow (7x+7+7x613)(7x+7+7x6+14)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6} -13)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6} +14) < 0
 
Last edited by a moderator:
V

viethoang1999

22) x3+x2+3xx+1+2<0(Đk:x1)x^3+x^2+3x\sqrt{x+1}+2 < 0 (Đk: x \ge -1)
x2(x+1)+3x2(x+1)+2<0\leftrightarrow x^2(x+1)+3\sqrt{x^2(x+1)}+2 < 0 (*)
Đặt x2(x+1)=tx^2(x+1) = t
(*) t2+3t+2<0\rightarrow t^2+3t+2 < 0
2<t<1\leftrightarrow -2 < t < -1
...

28) 23x2+x+23(3x2)(x+2)42\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+2} \ge 3\sqrt[4]{(3x-2)(x+2)} (*) (*)
Đk: x23x \ge \dfrac{2}{3}
Đặt 3x2=a0\sqrt{3x-2} = a \ge 0 , x+2=b0\sqrt{x+2} = b \ge 0
(*) (*) 2a+b3ab\rightarrow 2a+b \ge 3\sqrt{ab}
(2ab)(ab)0\leftrightarrow (2\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \ge 0
...

22) Kết quả: Pt vô nghiệm
28) Kết quả: S=[2;+S=[2;+\infty)[23;3447]) \cup \left [ \dfrac{2}{3};\dfrac{34}{47} \right]
 
V

viethoang1999

23/

ĐK : .....

Đặt : x3+1=t\sqrt{x^3+1}=t

BPT viết lại : (4x1)t(4x-1)t \leq 2t2+2x12t^2+2x-1

\Leftrightarrow (t2x+1)(2t1)(t-2x+1)(2t-1) \geq 0 \Leftrightarrow ....continuecontinue....

24/

ĐK : ....

BPT \Leftrightarrow (x22x2x+1)(x22x1)(\sqrt{x^2-2x}-2x+1)(\sqrt{x^2-2x}-1) \geq 0

\Leftrightarrow .......continuecontinue.......

23) Tiếp theo ta xét trường hợp:
+ Nếu 2x1122x-1\ge \dfrac{1}{2} thì BPT trở thành t12t\le \dfrac{1}{2} hoặc t2x1t\ge 2x-1
(Vì BPT có 2 nghiệm là t=2x1t=2x-1t=12t=\dfrac{1}{2} thì tt lớn hơn nghiệm lớn hoặc tt nhỏ hơn nghiệm nhỏ)
+ Nếu 2x1122x-1\le \dfrac{1}{2}
...

Kết quả: S=[343;+S=[ -\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}} ; +\infty ]]

24) Xét trường hợp tương tự bài 23.

Kết quả: S=[2;1+2](S=[2;1+\sqrt{2}]\cup (-\infty;12);1-\sqrt{2})
 
Last edited by a moderator:
V

viethoang1999

25/

Còn câu làm nốt ;)

ĐK : .........

BPT \Leftrightarrow (7x+7+7x613)(7x+7+7x6+14)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}-13)(\sqrt{7x+7}+\sqrt{7x-6}+14) < 0

Kết quả: S=[67;6)S=\left [ \dfrac{6}{7};6 \right )

26,ĐKXĐ: x1x \ge 1

BPT \Leftrightarrow x1+x+3+2.2x2+4x6>(1x)+(3x)+6\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{2x^2+4x-6} > (1-x)+(-3-x)+6

\Leftrightarrow x1+x+3+2.(x1)2+(x+3)216>(1x)+(3x)+6\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{2}.\sqrt{(x-1)^2+(x+3)^2-16}>(1-x)+(-3-x)+6

Đặt x1=a;x+3=b\sqrt{x-1}=a;\sqrt{x+3}=b (a0;b2a \ge 0;b \ge 2 )

BPT trở thành:

a+b+2.a4+b416>a2b2+6a+b+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>-a^2-b^2+6

\Leftrightarrow a+b+a2+b2+2.a4+b416>6a+b+a^2+b^2+\sqrt{2}.\sqrt{a^4+b^4-16}>6

Do a0;b2a \ge 0;b \ge 2 nên a+b+a2+b26a+b+a^2+b^2 \ge 6

Nghiệm x>1x>1

Cách khác: Đặt x1+x+3=t>0\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=t>0
BPT trở thành: t+t22x2>42xt+t^2-2x-2>4-2x \Leftrightarrow ...

Kết quả: S=(1;+S=(1;+\infty)
 
V

viethoang1999

29) 12x3+14+x32\sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{14+x}\ge 2
30) x1x(x1x)+x2xx-1\ge x(\sqrt{x-1}-\sqrt{x})+\sqrt{x^2-x}
31) x1+x13\sqrt{x}\ge 1+\sqrt[3]{x-1}
32) 2x3+x11\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}\ge 1


Mấy bài biện luận bpt:

33) Cho bpt: 4x2+2x+8x2+2x+m18-4\sqrt{-x^2+2x+8}\le -x^2+2x+m-18 (1)(1)
a) Tìm mm để bpt có nghiệm
b) Tìm m để bpt có nghiệm với mọi x[2;3]x\in [-2;3]

34) Cho bpt: x+5+x31+x28x152m\sqrt{x+5}+\sqrt{-x-3}\ge 1+\sqrt{-x^2-8x-15}-2m (1)(1)
a) Tìm mm để bpt có nghiệm
b) Tìm mm để bpt có nghiệm mọi x[5;3]x\in[-5;-3]

Bài làm rồi được tô màu đỏ.
 
L

lp_qt


33) Cho bpt: 4x2+2x+8x2+2x+m18-4\sqrt{-x^2+2x+8}\le -x^2+2x+m-18 (1)(1)
a) Tìm mm để bpt có nghiệm
b) Tìm m để bpt có nghiệm với mọi x[2;3]x\in [-2;3]

ĐKXĐ : 2x4-2 \le x \le 4

đặt t=x2+2x+8(0t3)t=\sqrt{-x^2+2x+8} (0 \le t \le 3)

a.

bpt (1)(1) có nghiệm \Leftrightarrow f(t)=t2+4t+10mf(t)= t^2+4t+10 \ge -m có nghiệm t[0;3]t \in [0;3]

vẽ bảng biến thiên của f(x)f(x) trên [0;3][0;3] ta được 10t3110 \le t \le 31

vậy giá trị mm thỏa mãn là m 10\le 10

b.

với x[2;3]x\in [-2;3] thì 0t30 \le t \le 3

bpt (1)(1) có nghiệm với mọi x[2;3]x\in [-2;3] \Leftrightarrow f(t)=t2+4t+10mf(t)= t^2+4t+10 \ge -m nghiệm đúng \forall t[0;3]t \in [0;3]
 
Top Bottom