Toán 10 $\color{red}{\bigstar\text{Bất Phương Trình Vô Tỉ}\bigstar}$

[viethoang1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ​

I. Định nghĩa:

Là bất phương trình (BPT) có ẩn dưới dấu căn thức.

II. Các phương pháp giải:

Nhìn chung, các phương pháp giải BPT vô tỉ cũng tương tự như PT vô tỉ. Tuy nhiên nó cũng có điểm khác biệt (về phần điều kiện...). BPT vô tỉ không có cách giải tổng quát, chúng ta phải tùy cơ ứng biến. Việc phân chia ra các phương pháp giải BPT vô tỉ cũng chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người (Ở đây chỉ nêu ra vài phương pháp cơ bản đại diện của lớp 10). Mỗi bài BPT có thể có nhiều cách giải, chúng ta nên cân nhắc dùng phương pháp nào cho hiệu quả, ngắn gọn nhất. Tuy nhiên cũng có BPT không giải được bằng phương pháp nào, khi đó người làm toán cần linh hoạt tìm ra phương pháp giải...

1) Phương pháp biến đổi tương đương:

a) Phương pháp:
Với $n$ chẵn.

Dạng 1: $\sqrt[n]{f(x)}\le g(x)$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}g(x)\ge 0 & & \\ f(x)\ge 0 & & \\ f(x)\le \left [g(x) \right ]^n \end{matrix}\right.$

Dạng 2: $\sqrt[n]{f(x)}\ge g(x)$\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}g(x <0 & & \\ f(x)\ge 0 & & \end{matrix}\right. & & \\ ~~~~~~~\left\{\begin{matrix}g(x)\ge 0 & & \\ f(x)\ge \left [g(x) \right ]^n & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$

Dạng 3: $\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}\ge \sqrt{h(x)}$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}f(x)\ge 0
& & \\ g(x)\ge 0
& & \\ h(x)\ge 0
& & \\ f(x)+g(x)+2\sqrt{f(x).g(x)}\ge h(x)
\end{matrix}\right.$

Nếu $\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}\le \sqrt{h(x)}$ thì không cần điều kiện $h(x)\ge 0$ nữa.

Chú ý: $A^2B\ge 0$\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}A=0 & & \\ \left\{\begin{matrix}A\ne 0 & & \\ B\ge 0 & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$
Tương tự với $A^2B\le 0$

Một số bạn thường quên đi trường hợp $A=0$, vì khi $A=0$ thì $B$ âm cũng được hết ...


b) Bài tập:

1) $\sqrt{x^2+6x+8}\le 2x+3$
2) $\sqrt{x^2-3x-10}+2<x$
3) $x-3\sqrt{x+1}+3>0$
4) $\sqrt{x^2-4x+5}+2x\ge 3$
5) $\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\ge 2$
6) $\dfrac{\sqrt{51-2x-x^2}}{1-x}\le 1$
7) $\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}\ge 2$

Bài tập đã giải sẽ được tô màu đỏ. Khi làm bài các bạn trích dẫn đề bài ra cho mọi người tiện xem.

 

[lp_qt]

1.
ĐKXĐ: $x^{2}+6x+8 \ge 0$
\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x \ge -2 & \\ x \le -4 & \end{bmatrix}$

$\sqrt{x^{2}+6x+8} \le 2x+3$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}2x+3 \ge 0 & \\ x^{2}+6x+8 \le 4x^{2}+12x+9 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \ge \dfrac{-3}{2} & \\ 3x^{2}+6x+1 \ge 0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \ge \frac{-3}{2} & \\
\begin{bmatrix}x \ge \dfrac{-3+\sqrt{6}}{3} & \\ x \le \dfrac{-3-\sqrt{6}}{3} &
\end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $x \ge \dfrac{-3+\sqrt{6}}{3}$
kết hợp xới ĐKXĐ \Rightarrow $x \ge \dfrac{-3+\sqrt{6}}{3}$

 

[lp_qt]

7.
ĐKXĐ :$\left\{\begin{matrix}1-4x^{2} \ge 0 & \\ x \ne 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1}{2}\le x \le \dfrac{1}{2} & \\
x \ne 0 & \end{matrix}\right.$

$\dfrac{1-\sqrt{1-4x^{2}}}{x} \ge 2$

\Leftrightarrow $\dfrac{1-2x-\sqrt{1-4x^{2}}}{x} \ge 0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\ 1-2x-\sqrt{1-4x^{2}} \ge 0 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix}x< 0 & \\ 1-2x-\sqrt{1-4x^{2}} \le 0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

+/ $\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\ 1-2x-\sqrt{1-4x^{2}} \ge 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x >0 & \\ 1-2x \ge \sqrt{1-4x^{2}} & \end{matrix}\right. $

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x>0 & \\ x \le \dfrac{1}{2} & \\ 1-4x+ 4x^{2}\ge 1-4x^{2} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}0 <x\le \dfrac{1}{2} & \\ 8x^{2}-4x \ge 0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}0 <x\le \dfrac{1}{2} & \\ \begin{bmatrix}
x \le 0 & \\ x \ge \dfrac{1}{2} & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $x=\dfrac{1}{2}$

+/ $\left\{\begin{matrix} x< 0 & \\ 1-2x-\sqrt{1-4x^{2}} \le 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x < 0 & \\ 1-2x \le \sqrt{1-4x^{2}} &\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x<0 & \\ \begin{bmatrix}x>\dfrac{1}{2} & \\
\dfrac{-1}{2}\le x\le \dfrac{1}{2} & \end{bmatrix} & \\ \begin{bmatrix}x \le \dfrac{1}{2} & \\ 1-4x+4x^{2} \le 1-4x^{2} & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x <0 & \\ 4x-8x^{2} \ge 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x<0 & \\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

vậy $x=\dfrac{1}{2}$

hình như sai ở đâu thì phải )

 

[lp_qt]

3) $x-3\sqrt{x+1}+3>0$

3.
$x-3\sqrt{x+1}+3>0$

\Leftrightarrow $x+3 > 3\sqrt{x+1}$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \ge -1 & \\x \ge -3 & \\ x^{2}+6x+9 > 9x+9 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \ge -1 & \\ x^{2}-3x > 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \ge -1 & \\ \begin{bmatrix}x > 3 & \\ x <0 &
\end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}-1 \le x < 0 & \\ x >3 & \end{bmatrix}$

2. $\sqrt{x^{2}-3x-10}+2<x$

\Leftrightarrow $\sqrt{x^{2}-3x-10}< x-2$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x^{2}-3x-10 \ge 0 & \\ x-2 > 0 & \\ x^{2}-3x-10 < x^{2}-4x+4 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x>2 & \\ \begin{bmatrix}x \ge 5 & \\ x \le -2 &
\end{bmatrix} & \\ x <14 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $5 \le x < 14$

 

[eye_smile]

2) $\sqrt{x^2-3x-10}+2<x$

LG:

ĐKXĐ: $x^2-3x-10 \ge 0$

\Leftrightarrow $x \ge 5$ hoặc $x \le -2$

BPT \Leftrightarrow $\sqrt{x^2-3x-10}<x-2$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x-2>0 & \\x^2-3x-10<(x-2)^2&\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x>2 & \\x<14&\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $2<x<14$

Kết hợp với đkxđ, đc: $5 \le x<14$

 

[eye_smile]

4) $\sqrt{x^2-4x+5}+2x\ge 3$

LG:

ĐKXĐ: $x^2-4x+5=(x-2)^2+1 \ge 0$ (lđ)

BPT \Leftrightarrow $\sqrt{x^2-4x+5} \ge 3-2x$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}3-2x<0 & \\ \left\{\begin{matrix}3-2x\ge 0 & \\x^2-4x+5 \ge (3-2x)^2&\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x>\frac{3}{2} & \\\left\{\begin{matrix}x\le\frac{3}{2} & \\x^2-4x+5 \ge 4x^2-12x+9&\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x>\frac{3}{2} & \\\left\{\begin{matrix}x\le\frac{3}{2} & \\3x^2-8x+4\le 0&\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x>\frac{3}{2} & \\\left\{\begin{matrix}x\le\frac{3}{2} & \\(x-2)(3x-2)\le 0&\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x>\frac{3}{2} & \\\left\{\begin{matrix}x\le\frac{3}{2} & \\\frac{2}{3}\le x\le 2&\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x>\frac{3}{2} & \\ \frac{2}{3}\le x\le \frac{3}{2} &\end{bmatrix}$

Kết hợp với đkxđ.

 

[eye_smile]

5) $\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\ge 2$

LG:ĐKXĐ: $x \le 2$; x khác 0

BPT \Leftrightarrow $\dfrac{\sqrt{2-x}+2x-3}{x} \ge 0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x>0 & \\\sqrt{2-x}+2x-3\ge 0 &\end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix}x<0 & \\\sqrt{2-x}+2x-3 \le 0 &\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}x>0 & \\\sqrt{2-x}\ge 3-2x &\end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix}x<0 & \\\sqrt{2-x}\le 3-2x &\end{matrix}\right. &\end{bmatrix}$

Cũng bình phương tương tự mấy bài trên


Câu 6 tương tự câu 5

 

[viethoang1999]

5) $\dfrac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\ge 2$
6) $\dfrac{\sqrt{51-2x-x^2}}{1-x}\le 1$

5) Đáp án: $x\in (-$\infty$,0)\cup [1,2]$

6) ĐK: $\left\{\begin{matrix}-1-2\sqrt{13}\le x\le -1+2\sqrt{13} & & \\ x\ne 1 & & \end{matrix}\right.$

+ Nếu $-1-2\sqrt{13}\le x<1$ \Rightarrow $1-x>0$
BPT\Leftrightarrow $\sqrt{51-2x-x^2}\le 1-x$\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}1-x\ge 0
& & \\ 51-2x-x^2\le 1-2x+x^2
& &
\end{matrix}\right.$\Leftrightarrow $x\le -5$
Kết hợp điều kiện: $-1-2\sqrt{13}\le x\le -5$
+ Nếu $1<x\le -1+2\sqrt{13}$\Rightarrow $1-x<0$
BPT\Leftrightarrow $\sqrt{51-2x-x^2}\ge 1-x$\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}1-x<0
& & \\ 51-2x-x^2\ge 0
& &
\end{matrix}\right.
& & \\ \left\{\begin{matrix}1-x\ge 0
& & \\ 51-2x-x^2\ge 1-2x+x^2
& &
\end{matrix}\right.
& &
\end{bmatrix}$\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}1<x\le -1+2\sqrt{13}
& & \\ -5\le x\le 1
& &
\end{bmatrix}$
Kết hợp điều kiện: $1<x\le -1+2\sqrt{13}$

Vậy $x\in [-1-2\sqrt{13};-5]\cup (1;-1+2\sqrt{13}]$

 

[viethoang1999]

8) $\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}>\dfrac{1}{2x-1}$
9) $\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-3}$
10) $\sqrt{x-1}<\sqrt{5x-1}-\sqrt{2x-4}$
11) $\sqrt{x+1}\ge 3-\sqrt{x+4}$
12) $(x^2-6x+9)(\sqrt{x^2-4x+50}-3+2x)\le 0$
13) $\sqrt{6x+1}-\sqrt{2x+3}<\sqrt{8x}-\sqrt{4x+2}$

 

[hien_vuthithanh]

8) $\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+3x-5}}>\dfrac{1}{2x-1}$

Đkxd $\begin{Bmatrix}
& x> 1 & \\ x< \dfrac{-5}{2}\\x\neq \dfrac{1}{2}

\end{Bmatrix}$
♣/ x\geq 1 \Rightarrow 2x-1 \geq 0 \Rightarrow bpt \Leftrightarrow $ \sqrt{2x^2+3x-5}$ < $2x-1$
\Leftrightarrow $\begin{Bmatrix}
& 2x-1 > 0 \\2x^{2}+3x-5 >0
& \\ 2x^{2}+3x-5<4x^{2}-4x+1&
\end{Bmatrix} $
\Leftrightarrow$ \begin{Bmatrix}
& x>\dfrac{1}{2}&\\
& \begin{bmatrix}
& x>1\\
& x<\dfrac{-5}{2}
\end{bmatrix} &
\begin{bmatrix}
& x>2\\
& x <\dfrac{3}{2}
\end{bmatrix}
&\end{Bmatrix}$
\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}
&x>2 \\
& 1<x<\dfrac{3}{2}
\end{bmatrix}$

♣/ x < $\dfrac{-5}{2}$
Làm tương tự

Đáp án $\begin{bmatrix}
&x>2 \\
& x<\dfrac{-5}{2}\\
& 1<x<\dfrac{3}{2}
\end{bmatrix}$

 

[hien_vuthithanh]

9) $\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-3}$

Đkxd x \geq 3

\Leftrightarrow $\sqrt{x-1}\ge \sqrt{x-3}+\sqrt{x-2}$

\Leftrightarrow$ x-1$ \geq$2x-5+2\sqrt{(x-3)(x-2)}$\Leftrightarrow$ 4-x$\geq $2\sqrt{(x-3)(x-2)}$

$\left\{\begin{matrix}4-x \ge 0 \\(x-3)(x-2)\ge 0 \\ x^{2}-8x+16 \ge 2x^{2}-10x+12\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} x \le 4 \\ \left[\begin{matrix} x\ge 3\\ x\le 2\end{matrix}\right .\left[\begin{matrix} x\ge 1+\sqrt{5} \\ x \le 1-\sqrt{5}\end{matrix}\right . \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix}1+\sqrt{5}\le x\le 4 \\ x\le 1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

 

[lp_qt]

12) $(x^2-6x+9)(\sqrt{x^2-4x+50}-3+2x)\le 0$

$(x^2-6x+9)(\sqrt{x^2-4x+50}-3+2x)\le 0$

$(x^2-6x+9)(\sqrt{x^2-4x+50}-3+2x)\le 0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x^2-6x+9=0 & \\ \sqrt{x^2-4x+50}-3+2x \le 0 &
\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x=3 & \\ \sqrt{x^{2}-4x+50}\le 3-2x & \end{bmatrix}$

+/ $\sqrt{x^{2}-4x+50}\le 3-2x$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}3-2x \ge 0 & \\ x^{2}-4x+50 \le 4x^{2}-12x+9 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \le \dfrac{3}{2} & \\ 3x^{2}-8x-41 \ge 0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \le \dfrac{3}{2} & \\ \begin{bmatrix}x\ge \dfrac{4+\sqrt{139}}{3} & \\ x\le \dfrac{4-\sqrt{139}}{3} & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $x\ge \dfrac{4-\sqrt{139}}{3}$

vậy $\begin{bmatrix}x=3 & \\ x\ge \dfrac{4-\sqrt{139}}{3} & \end{bmatrix}$

 

[hien_vuthithanh]

10) $\sqrt{x-1}<\sqrt{5x-1}-\sqrt{2x-4}$

Đk : x\geq 2

\Leftrightarrow $\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-4}$<$\sqrt{5x-1}$

\Leftrightarrow $3x-5+2\sqrt{(x-1)(2x-4)}$<$5x-1$

\Leftrightarrow $\sqrt{(x-1)(2x-4)}$<$x+2$

\Leftrightarrow $\begin{Bmatrix}
& x+2>0 & \\
& (x-1)(2x-4)>0 & \\
&2x^{2}-6x+4<x+2
\end{Bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}
& -2<x<1\\
& 2<x<\dfrac{7+\sqrt{41}}{2}
\end{bmatrix}$

Kết hợp dk \Rightarrow $2$\leq x<$\dfrac{7+\sqrt{41}}{2}$

P/s Không biết có nhầm chỗ nào k )

 

[hien_vuthithanh]

11) $\sqrt{x+1}\ge 3-\sqrt{x+4}$

Đk : x \geq -1
$\sqrt{x+1}\ge 3-\sqrt{x+4}$

\Leftrightarrow $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}$\geq 3

\Leftrightarrow$ 2x+5+2\sqrt{(x+1)(x+4)}$\geq 9

\Leftrightarrow $\sqrt{(x+1)(x+4)}$\geq $2-x$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}
& \begin{Bmatrix}
& x\ge 2& \\
& (x+1)(x+4)\ge 0 &
\end{Bmatrix}\\
& \begin{Bmatrix}
& x\le 2 & \\
& (x+1)(x+4)\ge 0 & \\
& x^{2}+5x+4\ge x^{2}-4x+4
\end{Bmatrix}
\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}
&\begin{Bmatrix}
& x\ge 2 & \\
& \begin{bmatrix}
& x\ge -1\\
& x\le -4
\end{bmatrix}&
\end{Bmatrix}\\
& \begin{Bmatrix}
& x\le 2 & \\
& x \ge 0 & \\
& \begin{bmatrix}
& x\ge -1\\
& x\le -4
\end{bmatrix} &
\end{Bmatrix}
\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow$ \begin{bmatrix}
& x\ge 2\\
& 0 \le x\le 2
\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow x\geq 0

Kết hợp dk \Rightarrow x\geq 0

 

[viethoang1999]

Đkxd x \geq 3

\Leftrightarrow $\sqrt{x-1}\ge \sqrt{x-3}+\sqrt{x-2}$

\Leftrightarrow$ x-1$ \geq$2x-5+2\sqrt{(x-3)(x-2)}$\Leftrightarrow$ 4-x$\geq $2\sqrt{(x-3)(x-2)}$

$\left\{\begin{matrix}4-x \ge 0 \\(x-3)(x-2)\ge 0 \\ x^{2}-8x+16 \ge 2x^{2}-10x+12\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} x \le 4 \\ \left[\begin{matrix} x\ge 3\\ x\le 2\end{matrix}\right .\left[\begin{matrix} x\ge 1+\sqrt{5} \\ x \le 1-\sqrt{5}\end{matrix}\right . \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix}1+\sqrt{5}\le x\le 4 \\ x\le 1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

Sai từ chỗ bôi đỏ rồi. Đáp án $x\in [3;\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}]$

 

[viethoang1999]

Đk : x\geq 2

\Leftrightarrow $\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-4}$<$\sqrt{5x-1}$

\Leftrightarrow $3x-5+2\sqrt{(x-1)(2x-4)}$<$5x-1$

\Leftrightarrow $\sqrt{(x-1)(2x-4)}$<$x+2$

\Leftrightarrow $\begin{Bmatrix}
& x+2>0 & \\
& (x-1)(2x-4)>0 & \\
&2x^{2}-6x+4<x+2
\end{Bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}
& -2<x<1\\
& 2<x<\dfrac{7+\sqrt{41}}{2}
\end{bmatrix}$

Kết hợp dk \Rightarrow $2$\leq x<$\dfrac{7+\sqrt{41}}{2}$

P/s Không biết có nhầm chỗ nào k )

Sai từ chỗ bôi đỏ rồi.
Chỗ bôi đỏ phải là $(x-1)(2x-4)\ge 0$ và $2x^2-6x+4<x^2+4x+4$

Đáp án: $x\in [2;10)$

Để tránh nhầm lẫn thì đây là phần mềm để xem đáp án BPT: http://www.wolframalpha.com/

 

[viethoang1999]

$(x^2-6x+9)(\sqrt{x^2-4x+50}-3+2x)\le 0$

$(x^2-6x+9)(\sqrt{x^2-4x+50}-3+2x)\le 0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x^2-6x+9=0 & \\ \sqrt{x^2-4x+50}-3+2x \le 0 &
\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}x=3 & \\ \sqrt{x^{2}-4x+50}\le 3-2x & \end{bmatrix}$

+/ $\sqrt{x^{2}-4x+50}\le 3-2x$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}3-2x \ge 0 & \\ x^{2}-4x+50 \le 4x^{2}-12x+9 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \le \dfrac{3}{2} & \\ 3x^{2}-8x-41 \ge 0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x \le \dfrac{3}{2} & \\ \begin{bmatrix}x\ge \dfrac{4+\sqrt{139}}{3} & \\ x\le \dfrac{4-\sqrt{139}}{3} & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $x\ge \dfrac{4+\sqrt{139}}{3}$

vậy $\begin{bmatrix}x=3 & \\ x\ge \dfrac{4+\sqrt{139}}{3} & \end{bmatrix}$

Ở phần bôi đỏ cần chú ý là $A^2B\ge 0$\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}A=0 & & \\ \left\{\begin{matrix}A\ne 0 & & \\ B\ge 0 & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$
Ở đây bạn đã quên mất cái $A\ne 0$
Tuy nhiên may mắn là nó không ảnh hưởng tới kết quả.
Nhưng đoạn cuối cùng kết hợp lại bị sai.
Đáp án: $x\le \dfrac{4-\sqrt{139}}{3}$ hoặc $x=3$

 

[viethoang1999]

13) $\sqrt{6x+1}-\sqrt{2x+3}<\sqrt{8x}-\sqrt{4x+2}$

13) BPT\Leftrightarrow $\sqrt{6x+1}+\sqrt{4x+2}<\sqrt{8x}+\sqrt{2x+3}$ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}6x+1\ge 0
& & \\ 4x+2\ge 0
& & \\ x\ge 0
& & \\ 2x+3\ge 0
& & \\ 10x+3+2\sqrt{(6x+1)(4x+2)}<10x+3+2\sqrt{8x(2x+3)}
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}x\ge 0
& & \\ pt VN
& &
\end{matrix}\right.$
\Rightarrow $x\in \phi $

Vậy $S= \phi $

 

[viethoang1999]

2) Phương pháp đặt ẩn phụ:

a) Phương pháp:

Dạng 1: $\alpha A+\beta B+\gamma>0$
Hướng giải: Đặt $\sqrt{A}=t\ge 0$

Dạng 2: $\alpha (\sqrt{A}+\sqrt{B})+\beta \sqrt{AB}+\gamma>0$
Hướng giải: Đặt $\sqrt{A}+\sqrt{B}=t\ge 0$
\Rightarrow $A+B+2\sqrt{AB}=t^2$

Dạng 3: $\alpha A+\beta B+\gamma \sqrt{AB}>0$
Hướng giải: Chia cả 2 vế BPT cho giả sử $B>0$
\Rightarrow $\alpha .\dfrac{A}{B}+\beta+\gamma \sqrt{\dfrac{A}{B}}>0$
Đặt $\sqrt{\dfrac{A}{B}}=t\ge 0$

Dạng 4: $\alpha A+\beta B+\gamma \sqrt{mA^2+nB^2}>0$
Hướng giải: Chia cả 2 vế BPT cho giả sử $B>0$
\Rightarrow $\alpha .\dfrac{A}{B}+\beta+\gamma.\sqrt{n.\left ( \dfrac{A}{B} \right )^2+n}>0$
Đặt $\dfrac{A}{B}=t$

Dạng 5: $\alpha \sqrt{A}+\beta \sqrt[3]{B}+\gamma>0$
Hướng giải: Đặt $\sqrt{A}=a\ge 0; \sqrt[3]{B}=b$
\Rightarrow $\left\{\begin{matrix}\alpha a+\beta b+\gamma>0
& & \\ f(a;b)=0
& &
\end{matrix}\right.$

b) Bài tập:

14) $\sqrt{x(x+3)}+x^2\le 6-3x$
15) $(x+4)(x+1)-3\sqrt{x^2+5x+2}\le 6$
16) $x^2+2x\le 4\sqrt{2x^2+4x+3}-5$
17) $2x^2+\sqrt{(x+1)(x-6)}>10x+15$
18) $\dfrac{x}{x+1}-2\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}>3$
19) $\dfrac{6x}{x-2}-\sqrt{\dfrac{12x}{x-2}}-2\sqrt[4]{\dfrac{12x}{x-2}}\ge 0$
20) $\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}+2\sqrt[3]{\dfrac{x-2}{x+1}}-6\sqrt[6]{\dfrac{x-2}{x+1}}\le 4$
21) $5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-2x<\dfrac{1}{2x}+4$


Bài tập làm rồi được tô màu đỏ

 

[hien_vuthithanh]

14) $\sqrt{x(x+3)}+x^2\le 6-3x$

Đk $ \left[\begin{matrix} x \ge 0\\ x \le -3\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\sqrt{x(x+3)}+x^2+3x$ \leq 6

Đặt$ \sqrt{x^2+3x}=t ( t\ge 0)$ \Rightarrow bpt \Leftrightarrow $t^2+t-6 $\leq 0

\Leftrightarrow $(t-2)(t+3)$ \leq 0 \Leftrightarrow -3 \leq t \leq 2

\Leftrightarrow -3 \leq $ \sqrt{x^2+3x} $ \leq 2

Kết hợp dk \Rightarrow $ 0 \le 0 \sqrt{x^2+3x} $ \leq 2 \Rightarrow $\sqrt{x^2+3x} \le 2$

\Leftrightarrow $x^2+3x-4$ \leq 0 \Leftrightarrow $-4 \le x \le 1 $

Kết hợp dk \Rightarrow $ \left[\begin{matrix} -4 \le x \le -3\\ 0 \le x \le1\end{matrix}\right.$