Toán $\color{Blue}{\fbox{TOÁN 9} \text{Ôn luyện thi HSG thi các cấp}}$

Giới thiệu về Topic:


☺ Topic lập ra để các bạn có cơ hội thảo luận về bài toán khó trong các đề thi HSG các cấp.

☺Tập hợp những cách giải, hương giải và biện pháp giải nhanh.

Các tham gia Topic:

ĐƠN GIẢN Ý MÀ:

☺Post bài khó trong các đề ra nhờ mọi người cùng giải.

☺Các cao thủ học tập như a Braga, bạn thienluan14211, bạn vipboycodon, bạn bosjeunhan,bạn congchuaanhsang và nhiều bạn khác cùng giúp đỡ....


Chú ý: Nhiều bài mình post lên chưa hẳn đã giải hết được, thế nên nhờ các cao thủ trong diễn đàn cùng giúp đỡ mình và tất các các bạn đang cần được sự trợ giúp.

 

Phần đầu tiên bao giờ cũng có về rút gọn biểu thức....

Mà phần này hầu như ai cũng biết rồi nên thôi ta chuyển sang phần phương trình và hệ phương trình nhé!

Bài 1: (Cậu này cũng bt thui)

Giải phương trình:

a) [TEX]\sqrt[n]{(x+1)^2}-3\sqrt[n]{(x-1)^2}=-2\sqrt[n]{x^2-1}[/TEX] với n [TEX]\in[/TEX] N ; n\geq 2

b) [TEX](4x-1)\sqrt{x^2+1}=2(x^2+1)+2x-1[/TEX]

Sau 1 ngày k ai TL mình post cách giải của mih lên

 

1. a) Đặt $a=\sqrt[n]{x+1}; b=\sqrt[n]{x-1} \to pt \iff a^2-3b^2=-2ab \iff ...$
b) Tự nhiên nhất là rút gọn rồi bình, nhẩm dc nghiệm duy nhất là $x=\dfrac{4}{3}$...

 

theo bạn ns thì câu 2 mình nghĩ cách bình phương lên cũng không hay lắm với nghiệm của bạn còn thiếu

Cách giải của mình là đặt [TEX]\sqrt{x^2+1}[/TEX] là y thì [TEX]y^2=x^2+1[/TEX]

Thay vào pt

\Leftrightarrow $(4x-1)y=2y^2 +2x-1$

\Leftrightarrow $(2y^2-4xy+2y)-(y-2x+1)=0$

Từ đó giải ra được chứ

Nghiệm là =0 và 4/3

Còn ai có cách giải hay hơn không ạ?

 

$x=0$ không là nghiệm của pt nha bạn...xem lại đi...

 

Nhận thấy có $x^2+1$ và $\sqrt{x^2+1}$ nên hướng giải tự nhiên nhất là đưa về tam

thức bậc hai với ẩn $x^2+1$

$2(x^2+1)-(4x-1)\sqrt{x^2+1}+(2x-1)=0$

$\Delta$=$(4x-1)^2-8(2x-1)$=$(4x-3)^2$

Đến đây dùng công thức nghiệm pt bậc 2 $x_1$=$\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $x_2$=$\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

sẽ đưa được về phương trình vô tỉ đơn giản hơn nhiều

 

Nhưng mà tớ chưa học đến cái đó, hỳ hỳ

@janbel: chắc mình giải nghiệm đấy nhưng cách đặt thì nhanh hơn bạn à!! bình phương lên rắc rối với dễ sai lắm

 

Đến hệ phương trình nhé!


Bài 1:

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x^3-y^3 = 1+y-x+xy \\ 7xy+x-y=7 \end{array} \right.[/TEX]


Bài 2:

[TEX]\left\{ \begin{array}{l} 2x^2+xy=y^2-3y+2 \\ x^2-y^2=3 \end{array} \right.[/TEX]

 

Bài 1:

Đặt: x+y = A

xy = B

Biểu diễn pt đã cho theo A,B có 2 hệ 2 ẩn =>......

Bài 2:

Từ (1): $2x^2 + xy = y^2 - 3y + 2$ <=> (2x - y +2)(x + y -1) = 0

Kết hợp với pt (2) tìm x,y

Tuy cách giải có lẽ ko hay hơn nhưng cũng post lên để các bạn tham khảo

Pt đã cho sau khi 1 hồi phân tích toán loạn ta được:

$(2\sqrt[]{x^2 + 1} - 1)(\sqrt[]{x^2 + 1} - 2x + 1) = 0$

Đến đây đối với hsg thật đơn giản

 

chém típ nhá bà con

Bài típ nè:

Giải các phương trình:

[TEX]\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+8=2x^2+\sqrt{2x-1}[/TEX]

[TEX]\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}[/TEX]

 

ĐK: ...
$pt \iff \sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}-\sqrt{3}=2x^2-8+\sqrt{2x-1}-\sqrt{3}$
$\iff \dfrac{-2x+4}{(x+1)(\sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}+3)}=2(x-2)(x+2)+\dfrac{2(x-2)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}}$
$\iff \dfrac{2x-4}{(x+1)(\sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}+3)}+2(x-2)(x+2)+\dfrac{2(x-2)}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}}=0$
$\iff 2(x-2)(\dfrac{1}{(x+1)(\sqrt{\dfrac{x+7}{x+1}}+3)}+x+2+\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}})=0$
Cái kia hiển nhiên dương theo dk nên pt có 1 nghiệm duy nhất $x=2$.

 

Cũng trục như trên...

$\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}$

$ \iff \sqrt{3x^2-5x-1-2(x-2)}+\sqrt{x^2-2-3(x-2)}=\sqrt{3x^2-5x-1}+\sqrt{x^2-2}$

$\iff \dfrac{2(x-2)}{\sqrt{3x^2-5x-1}+\sqrt{3x^2-7x+3}}+\dfrac{3(x-2)}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}=0$

$\iff x=2$



@braga: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=212883 @@

 

Bài 1 mình có cách khác ý:

ĐKXD: x\geq1/2

xét x=2 thoả mãn

xét x khác 2

xét 3 khoảng: 1/2\leqx\leq2

thay vào [TEX]\frac{x+7}{x+1}+8[/TEX]\geq [TEX]\sqrt{3}+8[/TEX]


còn VP thì ta có [TEX]2x^2+\sqrt{2x-1}[/TEX]<8+[TEX]\sqrt{3}[/TEX]
vô lý

sau đó x ét típ các khoảng cũng tương tự

đk k m.n

 

mình co 1 bài ma` mãi khong nghĩ ra . mọi người giúp đỡ nha:

cmr : $(a^{2012}-a^{2008}+b^{2012}-b^{2008}+ c^{2012}-c^{2008})$ chia hết cho 30
a, b, c là số nguyên dương

Chú ý gõ Latex

 

Xét riêng cái $a^{2012}-a^{2008} = a^{2007}.(a^5 - a)$

Ta thấy: $a^5 - a = a.(a^2 + 1)(a -1)(a+1)$

Dễ thấy nó chia hết cho 2; chia hết cho 3 (1)

Lại có theo Fecrmat nhỏ: $a^5 \equiv a$ (mod 5)

=>$a^5 - a$ chia hết cho 5 (2)

Vì (2;3;5) = 1, kết hợp với (1) và (2) => $a^{2012}-a^{2008}$ chia hết cho 30

Tương tự.....rồi có đpcm

 

cho em hỏi thêm là khi đi thi hsg có cần cm đly Fecrmat nhỏ ko ạ
nếu cần cho em xin cách cm luôn ạ .

@Forum_: Ở huyện mình là ko....nhưng mình cũng ko biết huyện bạn thế nào nên tốt nhất là chứng minh đi cho chắc ăn. Cách chứng minh bạn có thể tham khảo trên mạng !

 

Bà con ngồi giải tiếp nhá:

Bài 1:Giải phương trình nghiệm nguyên:

[TEX]x^2+2xy+x+y^2+4y=0[/TEX]

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của biểu thức:

[TEX]A=x(99+\sqrt{101-x^2})[/TEX]

[TEX]B=x(x^2-6)[/TEX] biết 0\leq x \leq 3

Bài 3:

Tìm các số thực x sao cho x+[TEX]\sqrt{2012}[/TEX] và [TEX]\frac{13}{x}-\sqrt{2012}[/TEX] đều là số nguyên

 

theo mình bài 1:

Làm theo [tex]\large\Delta[/tex] = [TEX](2x+4)^2-4(x^2+x)[/TEX]


[tex]\large\Delta[/tex] = 16+12x

\Rightarrow nghiệm 1 sẽ là [TEX]\frac{-2x-4+\sqrt{16+12x}}{2}[/TEX]

vì y nghuyên nên [TEX]\frac{-2x-4+\sqrt{16+12x}}{2}[/TEX] nguyên

sau đó tìm ra dạng của x thui

x có dạng là [TEX]3k^2+2k-1[/TEX]

đúng k nhỉ, các nghiệm sau giải tương tự thui??

ai giải khác post lên nhá

còn câu 2 bài a mik tìm được Max =1000 theo Cauchy và Bunhiacoxky dấu = xảy ra khi x=10

b) Max=9 khi x=3 dễ r`

Min =-4\sqrt{2}

câu 3 ai giải được mình hậu tạ

 

m.n giup t bài này nha :


tìm x, y là các số nguyên tố thỏa mãn pt :
12x+ 17y=190

 

đánh giá vì x,y nguyên tố \Rightarrow x,y >0

để thỏa mãn phương trình \Rightarrow x \leq 15 y \leq 11


mà x,y n.tố \Leftrightarrow y=2,3,5,7,11

thay giá trị vào tìm x thui

\Rightarrow (x,y)=(13,2)