CM: Bất đẳng thức

[pxt_95]

đại ca giúp thì giúp đi,sao hỏi kì vậy?có thì bắn em ít bài~!

 

[vodichhocmai]

ĐIỂM RƠI HAY ĐIỂM TỚI HẠN

$$\red Cho \ \ a,b,c>0\ \ a^5+b^5+c^5=3\ \ CMR:\ \ a^2+b^2+c^2\le 3$$

Áp dụng $$AM-GM$$ cho năm số dương .

$$a^5+a^5+1+1+1\ge 5a^2$$

[tex]\righ 2\sum_{cyc}a^5+9\ge 5\sum_{cyc}a^2[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le \frac{ 2\sum_{cyc}a^5+9}{5}[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le 3\ \ (dpcm)[/tex]

$$\red Cho \ \ a,b,c>0\ \ a^3+b^3=2\ \ CMR:\ \ a+b\le 2$$

Áp dụng $$AM-GM$$ cho ba số dương .

$$a^3+1+1\ge 3a$$

[tex]\righ \sum_{cyc}a^3+4\ge 3\sum_{cyc}a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a\le \frac{ \sum_{cyc}a^3+4}{3}[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}a\le 2\ \ (dpcm)[/tex]

[TEX]\red x,y,z[/TEX] là các số thực dương có tích bằng 1
[TEX]\red CMR:\ \ \sum_{cyclic} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{3}{4} [/TEX]

Áp dụng $$AM-GM$$ cho ba số dương .

[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \geq \frac{3x}{4}[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyc} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{1}{2}(x+y+z) -\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

$$\red Cho a,b,c>0\ \ a+b+c=3 \ \ CMR: \ \ \sum_{cyclic}\frac{a^3}{b+1}\ge \frac{3}{2}$$

Áp dụng $$AM-GM$$ cho ba số dương .

$$\frac{a^3}{b+1}+\frac{b+1}{4}+\frac{1}{2}\ge \frac{3}{2}a$$

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}+\frac{a+b+c+3}{4}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) [/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}\ge \frac{3}{2}\ \(dpcm)[/tex]

$$\red Cho\ \ a,b,c>0 \ \ CMR: \ \ \sum_{cyclic}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\ge \frac{\sum_{cyclic } \sqrt{ab}}{4}$$

Áp dụng $$AM-GM$$ cho ba số dương .

$$\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge \frac{3}{4} a$$

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{\sum_{cyc}a}{2}\ge \frac{3}{4}\sum_{cyc}a[/tex]

[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\ge \frac{1}{4}\sum_{cyc}a\ \ (!)[/tex]

Ta lại có theo $$AM-GM$$ thì :

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$

[tex]\righ \sum_{cyc}a\ge \sum_{cyc}\sqrt{ab}\ \ (!!)[/tex]

Từ [tex](!)&(!!)[/tex] suy ra $$(dpcm)$$

[TEX]\red Cho \ \ a,b,c> 0\ \ &\ \ a^2+b^2+c^2=3\ \ MIN_{T=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4}[/TEX]

Dễ nhận thấy nếu [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX] thì:

[TEX]a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2 [/TEX]

[TEX]\rightarrow a^4+b^4+c^4\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4} [/TEX]

[TEX]T\ge \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4}[/TEX]

[TEX]T\ge $\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^3}{2}$+$\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^3+a^2}{4}+ \frac{b^3}{2}$+$\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^3+b^2}{4}+\frac{c^3}{2}$[/TEX]

[TEX]\rightarrow T\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2} [/TEX]

[TEX]\rightarrow T\ge \frac{9}{2}[/TEX]

Để nhìn thấy rõ toàn cục bài bất đẳng thức trong việc chọn điểm rơi .Ta đi vào bài sau :[tex]\red Cho\ \ 1\ \ [b\ \ [a\ \ [N^+\ \ x,y>0\ \ x^a+y^a=n \ \ Min_{[x^b+y^b]}= 2.$\frac{n}{2}$^{\frac{b}{a}[/tex]

Áp dụng $$AM-GM$$ cho $$a$$ số dương .

[tex]\underbrace {x^a+x^a+...+x^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{x^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.x^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]

[tex]\underbrace {y^a+y^a+...+y^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{y^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.y^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]

[tex]\righ b(x^a+y^a)+(a-b)n\ge a.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}.(x^b+y^b)[/tex]

[tex]\righ x^b+y^b\le 2.$\frac{n}{2}$^{\frac{b}{a}[/tex]

[tex]\righ Min__{[x^b+y^b]}= 2.$\frac{n}{2}$^{\frac{b}{a}\ \ (dpcm)[/tex]

BÀI TẬP

[tex] Cho\red\ \ a,b,c >0\ \ &\ \ a+b+c=abc\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2}{a+bc }\ge \frac{a+b+c}{4}[/tex]

$$Cho\red\ \ x,y,z >0\ \ CMR:\ \ \frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\ge x+y+z$$

$$Cho\red\ \ x,y,z >0\ \ CMR:\ \ x^2+y^2+z^2\ge \sqrt{2}(xy+xz)$$

$$Cho\red\ \ x,y >2\ \&\ \ x+y=8\ \ CMR:\ \ \frac{x^4}{(y-2)^2}+\frac{y^4}{(x-2)^2}\ge 128$$

Bạn nghỉ mấy bài nầy thế nào .Nó cũng dễ

Hãy rơi đi , nếu không trúng điểm là hi sinh .com

 

[vodichhocmai]

đại ca giúp thì giúp đi,sao hỏi kì vậy?có thì bắn em ít bài~!

Vậy là ok rồi ngồi mà suy nghĩ đi ha

Suy nghĩ về độ lớn của nó hay trọng số là bao nhiêu , đó mới là quan trọng

Chúc em không thành công :khi (163)::khi (163)::khi (163):

 

[pxt_95]

dạ, cảm ơn đại ka!mong đại ka kaoj râu cho ạ!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[pxt_95]

có ai có các bài toán chọn điểm rơi nũa ko?help te!please!!!!!

 

[pxt_95]

1.a,b dương thoả mãn:a+b\leq1:cmr:a + b + 1/a + 1/b\geq5
2.a,b,c dương thoả mãn:a+b+c\leq1.cmr:a +b + +c +1/a + 1/b + 1/c\geq10

mong giúp đỡ!!

 

[pxt_95]

tiép nữa>3.a,b,c dương thoả mãn:a+b+c\leq1.cmr:
S=1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/bc + 2/ca\geq81
4.a>0,b>0.cmr:a+b/căn[ ab] + căn [ab/a+b]\geq5/2

 

[pxt_95]

Giúp em nha cả nhà!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!chiều phải nạp bài rồi đó!

 

[vodichhocmai]

1.a,b dương thoả mãn:[TEX]a+b\leq 1[/TEX]:cmr:[TEX]a + b + 1/a + 1/b\geq 5[/TEX]

[TEX]T=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}[/TEX]

[TEX]T\ge 4(a+b)+\frac{4}{a+b} -3(a+b)\ge 8-3=5[/TEX]

 

[vodichhocmai]

2.a,b,c dương thoả mãn:[TEX]a+b+c\leq1[/TEX].cmr:[TEX]a +b + +c +1/a + 1/b + 1/c\geq10[/TEX]
mong giúp đỡ!!

[TEX]T=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c+\frac{9}{a+b+c} [/TEX]

[TEX]T\ge 9(a+b+c)+ \frac{9}{a+b+c}-8(a+b+c)\ge 18-8=10[/TEX]

 

[vodichhocmai]

tiép nữa>3.a,b,c dương thoả mãn:[TEX]a+b+c\leq1[/TEX].cmr:
[TEX]S=1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/bc + 2/ca\geq 81 [/TEX]

[TEX]gt:\to 1=(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} [/TEX]

[TEX]\to S\ge 3$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$\ge \frac{3.9}{ab+bc+ca}\ge 3.3.9=81[/TEX]

 

[vodichhocmai]

4.a>0,b>0.cmr:a+b/căn[ ab] + căn [ab/a+b]\geq5/2

Không biết tác giả ghi đề sao ****************************?

[TEX]\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\sqrt{\frac{ab}{a+b}}\ge \frac{5}{2}[/TEX]

mà đề nầy thi sai rồi ??

 

[pxt_95]

đề ko sai đâu ạ!anh hãy giải lại thử xem.mà anh nói rõ hơn cho em bài 3 được ko?

 

[vodichhocmai]

đề ko sai đâu ạ!anh hãy giải lại thử xem.mà anh nói rõ hơn cho em bài 3 được ko?

Um kho6ng sai :

[TEX]\left{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\ge 9\\a,b,c>0[/TEX]


[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

 

[su7su]

Dùng phương pháp chọn điểm rơi
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
[TEX]\frac{x^20}{y^11}+\frac{y^20}{z^11}+\frac{z^20}{x^20}[/TEX]
trong đó [TEX]x,y,z [/TEX] là các số dương thoả mãn: [TEX]x+y+z=20[/TEX]

 

[cool_strawberry]

Em cũng góp vui tí BĐT này:
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
CM:[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}.(a+b+c)>=\frac{15}{2}[/TEX]

 

[pxt_95]

e vờ ry ba đy hép mi!

mặc dù mình chưa suy nghỉ nhưng mình đưa cho các bạn thảo luận nè:đây là các bài toán ap dụng bdt Bunhia.
1.cho:x^2 + y^2 +z^2 =1....cmr:-1/2\leqxy+yz\leq1