P
V
vodichhocmai
ĐIỂM RƠI HAY ĐIỂM TỚI HẠN
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho năm số dương .
[tex]a^5+a^5+1+1+1\ge 5a^2[/tex]
[tex]\righ 2\sum_{cyc}a^5+9\ge 5\sum_{cyc}a^2[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le \frac{ 2\sum_{cyc}a^5+9}{5}[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le 3\ \ (dpcm)[/tex]
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[tex]a^3+1+1\ge 3a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a^3+4\ge 3\sum_{cyc}a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a\le \frac{ \sum_{cyc}a^3+4}{3}[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a\le 2\ \ (dpcm)[/tex]
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \geq \frac{3x}{4}[/TEX]
[TEX]\righ \sum_{cyc} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{1}{2}(x+y+z) -\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[tex]\frac{a^3}{b+1}+\frac{b+1}{4}+\frac{1}{2}\ge \frac{3}{2}a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}+\frac{a+b+c+3}{4}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) [/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}\ge \frac{3}{2}\ \(dpcm)[/tex]
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[tex]\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge \frac{3}{4} a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{\sum_{cyc}a}{2}\ge \frac{3}{4}\sum_{cyc}a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\ge \frac{1}{4}\sum_{cyc}a\ \ (!)[/tex]
Ta lại có theo [tex]AM-GM [/tex] thì :
[tex]a+b\ge 2\sqrt{ab}[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a\ge \sum_{cyc}\sqrt{ab}\ \ (!!)[/tex]
Từ [tex](!)&(!!)[/tex] suy ra [tex](dpcm)[/tex]
Dễ nhận thấy nếu [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX] thì:
[TEX]a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2 [/TEX]
[TEX]\rightarrow a^4+b^4+c^4\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4} [/TEX]
[TEX]T\ge \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4}[/TEX]
[TEX]T\ge \(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^3}{2}\)+\(\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^3+a^2}{4}+ \frac{b^3}{2} \)+\(\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^3+b^2}{4}+\frac{c^3}{2}\)[/TEX]
[TEX]\rightarrow T\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2} [/TEX]
[TEX]\rightarrow T\ge \frac{9}{2}[/TEX]
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho [tex]a [/tex] số dương .
[tex]\underbrace {x^a+x^a+...+x^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{x^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.x^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]
[tex]\underbrace {y^a+y^a+...+y^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{y^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.y^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]
[tex]\righ b(x^a+y^a)+(a-b)n\ge a.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}.(x^b+y^b)[/tex]
[tex]\righ x^b+y^b\le 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\righ Min__{[x^b+y^b]}= 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}\ \ (dpcm)[/tex]
BÀI TẬP
Hãy rơi đi , nếu không trúng điểm là hi sinh .com
khanhsy said:
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho năm số dương .
[tex]a^5+a^5+1+1+1\ge 5a^2[/tex]
[tex]\righ 2\sum_{cyc}a^5+9\ge 5\sum_{cyc}a^2[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le \frac{ 2\sum_{cyc}a^5+9}{5}[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a^2\le 3\ \ (dpcm)[/tex]
khanhsy said:
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[tex]a^3+1+1\ge 3a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a^3+4\ge 3\sum_{cyc}a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a\le \frac{ \sum_{cyc}a^3+4}{3}[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a\le 2\ \ (dpcm)[/tex]
khanhsy said:
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[TEX]\frac{x^3}{(1+y)(1+z)} +\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8} \geq \frac{3x}{4}[/TEX]
[TEX]\righ \sum_{cyc} \frac{x^3}{(1+y)(1+z)} \geq \frac{1}{2}(x+y+z) -\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
khanhsy said:
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[tex]\frac{a^3}{b+1}+\frac{b+1}{4}+\frac{1}{2}\ge \frac{3}{2}a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}+\frac{a+b+c+3}{4}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}(a+b+c) [/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{b+1}\ge \frac{3}{2}\ \(dpcm)[/tex]
khanhsy said:
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho ba số dương .
[tex]\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge \frac{3}{4} a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{\sum_{cyc}a}{2}\ge \frac{3}{4}\sum_{cyc}a[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\ge \frac{1}{4}\sum_{cyc}a\ \ (!)[/tex]
Ta lại có theo [tex]AM-GM [/tex] thì :
[tex]a+b\ge 2\sqrt{ab}[/tex]
[tex]\righ \sum_{cyc}a\ge \sum_{cyc}\sqrt{ab}\ \ (!!)[/tex]
Từ [tex](!)&(!!)[/tex] suy ra [tex](dpcm)[/tex]
khanhsy said:
Dễ nhận thấy nếu [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX] thì:
[TEX]a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2 [/TEX]
[TEX]\rightarrow a^4+b^4+c^4\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4} [/TEX]
[TEX]T\ge \frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{4} +\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{4}[/TEX]
[TEX]T\ge \(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^3+c^2}{4}+\frac{a^3}{2}\)+\(\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^3+a^2}{4}+ \frac{b^3}{2} \)+\(\frac{c^5}{a^3+b^2}+\frac{a^3+b^2}{4}+\frac{c^3}{2}\)[/TEX]
[TEX]\rightarrow T\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2} [/TEX]
[TEX]\rightarrow T\ge \frac{9}{2}[/TEX]
khanhsy said:
Áp dụng [tex]AM-GM [/tex] cho [tex]a [/tex] số dương .
[tex]\underbrace {x^a+x^a+...+x^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{x^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.x^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]
[tex]\underbrace {y^a+y^a+...+y^a}_{b}+\underbrace {\frac{n}{2}+\frac{n}{2}+...+\frac{n}{2}}_{a-b}\ge a\sqrt[a]{y^{a.b}.\(\frac{n}{2}\)^{a-b}}=a.y^b.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}[/tex]
[tex]\righ b(x^a+y^a)+(a-b)n\ge a.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{a-b}{a}}.(x^b+y^b)[/tex]
[tex]\righ x^b+y^b\le 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\righ Min__{[x^b+y^b]}= 2.\(\frac{n}{2}\)^{\frac{b}{a}\ \ (dpcm)[/tex]
BÀI TẬP
khanhsy said:[tex] Cho\red\ \ a,b,c >0\ \ &\ \ a+b+c=abc\ \ CMR:\ \ \sum_{cyclic}\frac{a^2}{a+bc }\ge \frac{a+b+c}{4}[/tex]
[tex] Cho\red\ \ x,y,z >0\ \ CMR:\ \ \frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\ge x+y+z[/tex]
[tex] Cho\red\ \ x,y,z >0\ \ CMR:\ \ x^2+y^2+z^2\ge \sqrt{2}(xy+xz)[/tex]
[tex] Cho\red\ \ x,y >2\ \&\ \ x+y=8\ \ CMR:\ \ \frac{x^4}{(y-2)^2}+\frac{y^4}{(x-2)^2}\ge 128[/tex]
Bạn nghỉ mấy bài nầy thế nào .Nó cũng dễ
Hãy rơi đi , nếu không trúng điểm là hi sinh .com
Last edited by a moderator:
V
vodichhocmai
Vậy là ok rồi ngồi mà suy nghĩ đi ha
Suy nghĩ về độ lớn của nó hay trọng số là bao nhiêu , đó mới là quan trọng
Chúc em không thành công :khi (163)::khi (163)::khi (163):
P
pxt_95
P
pxt_95
P
pxt_95
1.a,b dương thoả mãn:a+b\leq1:cmr:a + b + 1/a + 1/b\geq5
2.a,b,c dương thoả mãn:a+b+c\leq1.cmr:a +b + +c +1/a + 1/b + 1/c\geq10
mong giúp đỡ!!
2.a,b,c dương thoả mãn:a+b+c\leq1.cmr:a +b + +c +1/a + 1/b + 1/c\geq10
mong giúp đỡ!!
P
pxt_95
tiép nữa>3.a,b,c dương thoả mãn:a+b+c\leq1.cmr:
S=1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/bc + 2/ca\geq81
4.a>0,b>0.cmr:a+b/căn[ ab] + căn [ab/a+b]\geq5/2
S=1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/bc + 2/ca\geq81
4.a>0,b>0.cmr:a+b/căn[ ab] + căn [ab/a+b]\geq5/2
P
pxt_95
V
vodichhocmai
[TEX]T=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}[/TEX]
[TEX]T\ge 4(a+b)+\frac{4}{a+b} -3(a+b)\ge 8-3=5[/TEX]
V
vodichhocmai
[TEX]T=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c+\frac{9}{a+b+c} [/TEX]
[TEX]T\ge 9(a+b+c)+ \frac{9}{a+b+c}-8(a+b+c)\ge 18-8=10[/TEX]
V
vodichhocmai
[TEX]gt:\to 1=(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} [/TEX]
[TEX]\to S\ge 3\( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)\ge \frac{3.9}{ab+bc+ca}\ge 3.3.9=81[/TEX]
V
vodichhocmai
Không biết tác giả ghi đề sao ****************************?
[TEX]\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\sqrt{\frac{ab}{a+b}}\ge \frac{5}{2}[/TEX]
mà đề nầy thi sai rồi ??
Last edited by a moderator:
P
pxt_95
V
vodichhocmai
Um kho6ng sai :
[TEX]\left{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\ge 9\\a,b,c>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}[/TEX]
S
su7su
Dùng phương pháp chọn điểm rơi
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
[TEX]\frac{x^20}{y^11}+\frac{y^20}{z^11}+\frac{z^20}{x^20}[/TEX]
trong đó [TEX]x,y,z [/TEX] là các số dương thoả mãn: [TEX]x+y+z=20[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
[TEX]\frac{x^20}{y^11}+\frac{y^20}{z^11}+\frac{z^20}{x^20}[/TEX]
trong đó [TEX]x,y,z [/TEX] là các số dương thoả mãn: [TEX]x+y+z=20[/TEX]
C
cool_strawberry
Em cũng góp vui tí BĐT này:
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
CM:[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}.(a+b+c)>=\frac{15}{2}[/TEX]
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
CM:[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}.(a+b+c)>=\frac{15}{2}[/TEX]
P
pxt_95
e vờ ry ba đy hép mi!
mặc dù mình chưa suy nghỉ nhưng mình đưa cho các bạn thảo luận nè:đây là các bài toán ap dụng bdt Bunhia.
1.cho:x^2 + y^2 +z^2 =1....cmr:-1/2\leqxy+yz\leq1
mặc dù mình chưa suy nghỉ nhưng mình đưa cho các bạn thảo luận nè:đây là các bài toán ap dụng bdt Bunhia.
1.cho:x^2 + y^2 +z^2 =1....cmr:-1/2\leqxy+yz\leq1