Chuyên đề về PT, hệ PT và BĐT

ngojsaoleloj8814974 · 17 Tháng năm 2010

Một số bài giải hệ phương trình ne`!!!!

[tex]a,\left{\begin{2(x+y)=xy}\\{xy+yz+xz=108}\\{xyz=108} [/tex]
[tex]b,\left{\begin{x^3+y^3+x^2(y+z)=xyz+14}\\{y^3+z^3+y^2(z+x)=xyz-21}\\{x^3+z^3+z^2(x+y)=xyz+7} [/tex]
[tex]c,\left{\begin{x^2=y+1}\\{y^2=z+1}\\{z^2=x+1} [/tex]
[tex]c,\left{\begin{y^3-6x^2+12x-8=0}\\{z^3-6y^2+12y-8=0}\\{x^3-6z^2+12z-8=0 [/tex]
[tex]d,\left{\begin{xy^2-2y+3x^2=0}\\{x^2+y^2x+2x=0}[/tex]
[tex]e,\left{\begin{x^2y^2-2x+y^2=0}\\{2x^2-4x+3+y^3=0}[/tex]
[TEX]f,\left{\begin{xy-3x-2y=16}\\{x^2+y^2-2x-4y=33}[/tex]
[TEX]g,\left{\begin{x^6+y^6=1}\\{x^4+y^4=1}[/tex]
[TEX]h,\left{\begin{x^3+y^3=1}\\{xy^2+2x^2y+x^3=2}[/tex]

son_9f_ltv · 17 Tháng năm 2010

[TEX]a,\left{\begin{2(x+y)=xy.........(1)}\\{xy+yz+xz=108......(2)}\\{xyz=10 8....................(3)}[/TEX]

từ (1) ta suy ra[TEX]x+y=\frac{xy}{2}[/TEX]

từ 3 ta suy ra [TEX]x,y,x\not= 0[/TEX]

[TEX]xy+z(x+y)=xyz\Rightarrow 2xy+xyz=2xyz\Rightarrow 2xy=xyz[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\left[\begin{z=2}\\{xy=0}.....sai}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]xy=54,x+y=27[/TEX]ok?

nhockthongay_girlkute · 18 Tháng năm 2010

c,[TEX]\left{\begin{y^3-6x^2-12y-8=0}(1)\\{z^3-6y^2+12y-8=0}(2)\\{x^3-6z^2+12z-9=0}(3)[/TEX]
cộng từng vế của 3 ft đã cho ta đc
[TEX]y^3-6x^2+12x-8+z^3-6y^2+12y-8+x^3-6z^2+12z-8=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-2)^3+(y-2)^3+(z-2)^3=0[/TEX](4)
mặt # (1)\Leftrightarrow[TEX]6x^2-12x-8=y^3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]6(x-1)^2+2>0[/TEX]\Rightarrow[TEX]y^3>0[/TEX]\Rightarrowy>0
tương tự \Rightarrowx>0;z>0
* xét x[TEX]\ge\[/TEX]3 từ (3)\Rightarrow[TEX]6z^2-12z=x^3-8\ge\[/TEX]0
\Rightarrow[TEX]6z(z-2)\ge\[/TEX]0\Rightarrowz[TEX]\ge\[/TEX]2
từ (4)\Rightarrow x=y=z=2
*xét 0<x<3 từ (3)\Rightarrow[TEX]6z^2-12z=x^3-8<0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]6z(z-2)<0[/TEX]\Rightarrowz<2
tương tự \Rightarrowy<2
từ (4)\Rightarrowhệ vô nghiệm
vạy hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(2;2;2)

nhockthongay_girlkute · 18 Tháng năm 2010

e,[TEX]\left{\begin{x^2y^2-2x+y^2=0}(1)\\{2x^2-4x+3+y^3=0}(2)[/TEX]
từ (1) ta có [TEX]y^2=\frac{2x}{1+x^2}\le\[/TEX]1
\Rightarrow-1[TEX]\le\[/TEX]y[TEX]\le\[/TEX] 1 (3)
từ (2)\Rightarrow[TEX]2x^2+3=4x-y^3[/TEX]
\Rightarrow[TEX]-y^3-1[/TEX]=[TEX]2(x-1)^2[/TEX][TEX]\ge\0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]y^3\le\[/TEX]-1
\Rightarrowy[TEX]\le\[/TEX]-1 (4)
từ (3)&(4)\Rightarrow y=-1\Rightarrowx=1
vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;-1)

ngojsaoleloj8814974 · 21 Tháng năm 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
Mong mọi người ủng hộ và đóng góp ý kiến thật sôi nổi!!!
Bây giờ mình post một số dạng thường gặp về PT
DẠNG I:
a, [TEX]x^3+3x-3=0[/TEX]
b, [TEX]x^3+6x+2=0[/TEX]
c, [TEX]x^3+12x-2=0[/TEX]
cái dạng này ai làm được một bài sẽ làm được mấy bài sau (mọi người chú ý hệ số sẽ ra thôi)
DẠNG II:
a, [TEX]x^4-4x=1[/TEX]
b, [TEX]x^4-8x-7=0[/TEX]
c,[TEX] x^4=3x^2+10x+4[/TEX]
DẠNG III:
[TEX]a, x^4-2\sqrt[]{2}x^2-x+2-\sqrt[]{2}x^2-x+2-\sqrt[]{2}=0[/TEX]
[TEX]b, x^4-10x^3-2(a-11)x^2+2(5a+6)x+2a+a^2=0[/TEX]
DẠNG IIII:
[TEX]a, x^4-4x^3-10x^2+37x-14=0[/TEX] (dạng này dùng đồng nhất thức là OK )
thôi để thi xong mình sẽ đăng tiếp mấy dạng hệ PT và BĐT cho mọi người tham khảo
wk` wen mất aj có các chuyên đề về hàm số và tứ giác nội tiếp bost lên cho mjnh và mọi người cùng xem xin THANKSSS.......SSSSSSSSS trước

M` sẽ giải một số bài cho các bạn xem và đóng góp ý kiến
1,a Đặt[TEX] x=a-\frac{1}{a}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^3+3x-3=(a-\frac{1}{a})+3(a-\frac{1}{a})-3=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3-\frac{1}{a^3}-3=0[/TEX]
Đặt[TEX] a^3=k[/TEX] khi đó ta sẽ có phương trình bậc 2 theo k giải ra tìm k rồi tìm a sau đó suy ra x
mấy bài dưới tương tự.
2,a, [TEX]x^4-4x=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+2x^2+1-2(x^2+2x+1)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x^2+1)^2-2(x+1)^2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [x^2+1-\sqrt[]{2}(x+1)][[x^2+1+\sqrt[]{2}(x+1)]=0[/TEX]
Từ đây giải 2 PT bậc 2 rồi suy ra x
3,
[TEX]a, x^4-2\sqrt[]{2}x^2-x+2-\sqrt[]{2}x^2-x+2-\sqrt[]{2}=0[/TEX]
Đặt [TEX]\sqrt[]{2}=a[/TEX] khi đó ta có phương trình bậc 2 với tham số là x và ẩn là a
tính đenta rồi tính a theo x sau đó thay [TEX]\sqrt[]{2}=a[/TEX] là OK!!!

thanhson1995 · 21 Tháng năm 2010

Cho mình hỏi đồng nhất thức là gi vậy bạn?
Cảm ơn

nhockthongay_girlkute · 21 Tháng năm 2010

PHƯƠNG PHÁP ĐÔNG NHẤT
f(x)=[TEX]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0[/TEX]
g(x)=[TEX]b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+....+b_1x+b_0[/TEX]
f(x)[TEX]\equiv\[/TEX]g(x)\Leftrightarrowf(x)=g(x) với mọi x
\Leftrightarrow a_i=b_i (i=1;2;3...;n)

typhoon_vsthien_95 · 25 Tháng năm 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
[TEX]g,\left{\begin{x^6+y^6=1}\\{x^4+y^4=1}[/tex]

Từ Gt \Rightarrow -1 \leq x,y \leq 1
[TEX]x^6+y^6-x^4-y^4=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4(x^2-1)+y^4(y^2-1)=0[/TEX]
Mà[TEX] x^4(x^2-1)+y^4(y^2-1) \leq 0[/TEX]
(x;y)=(0;1);(0;-1);(1;0);(-1;0)

rooney_cool · 25 Tháng năm 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
Một số bài giải hệ phương trình ne`!!!!

[TEX]h,\left{\begin{x^3+y^3=1}\\{xy^2+2x^2y+x^3=2}[/tex]

Hệ đẳng cấp bậc 3

Nhận thấy hệ không nghiệm [TEX](0;y) [/TEX]hoặc[TEX] (x;0)[/TEX]. Đặt [TEX]x = ty[/TEX] ta có

$gif.latex$

Từ đó tính được[TEX] t = 1, t = -1, t=0,5 [/TEX]~~~~~> Tính được [TEX]x, y[/TEX]

tinhbanonlinevp447 · 31 Tháng năm 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
[tex]c,\left{\begin{x^2=y+1}(1)\\{y^2=z+1}(2)\\{z^2=x+1}(3) [/tex]

Vì x,y,z đóng vai trò như nhau nên ta có thể giả sử:
[TEX]0 \leq x \leq y \leq z[/TEX]
Từ (1) và (3) [TEX]\Rightarrow x \geq z ( do y+1 \geq x+1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 0 \leq x \leq y \leq z \leq x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y=z[/TEX]
[TEX]x^2=x+1 \Rightarrow x^2-x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}[/TEX](thỏa); [TEX]x=\frac{1-\sqrt[]{5}}{2}[/TEX] (ko thỏa)

Trường hợp trong 3 số đó có 1 số âm ta dễ dàng suy ra:
[TEX]0 \geq z \geq y \geq x[/TEX].
Ta cũng lập luận tương tự và sẽ thu được nghiệm:
[TEX] x=y=z=\frac{1-\sqrt[]{5}}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]x=y=z=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2};x=y=z=\frac{1-\sqrt[]{5}}{2}[/TEX]

tinhbanonlinevp447 · 31 Tháng năm 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
2, Cho a,b,c>0,abc=1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
[TEX]P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}[/TEX]
[TEX]=\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{ab+bc}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ac+bc}[/TEX]
[TEX]=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}} + \frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}} + \frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}} \geq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]MIN P=\frac{3}{2} khi x=y=z=1[/TEX]

tinhbanonlinevp447 · 2 Tháng sáu 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
Cho a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1. CMR:
3,
[TEX]S=\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{d+a+b}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq\frac{1}{3}[/TEX]

Ta có:[TEX](a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2 \geq ab+bc+cd+da =1[/TEX]
[TEX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(\frac{a^2}{\sqrt[]{a(b+c+d)}}\sqrt[]{a(b+c+d)}+\frac{b^2}{\sqrt[]{b(c+d+a))}}\sqrt[]{b(c+d+a)}+\frac{c^2}{\sqrt[]{c(a+b+d)}}\sqrt[]{c(a+b+d)}+\frac{d^2}{\sqrt[]{d(a+b+c)}}\sqrt[]{d(a+b+c)} )^2[/TEX]
Theo bunhia ta có:
[TEX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \leq [\frac{a^4}{a(b+c+d)}+\frac{b^4}{b(c+d+a)}+\frac{c^4}{c(a+b+d)}+\frac{d^4}{d(a+b+c)}][a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(a+b+c)+d(a+b+c)][/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(a+b+c)+d(a+b+c)}[/TEX]
Ta dễ dàng CM được:
[TEX]a(b+c+d)+b(c+d+a)+c(a+b+c)+d(a+b+c) \leq 3(a^2+b^2+c^2+d^2)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c} \geq \frac{1}{3}[/TEX]

son_9f_ltv · 2 Tháng sáu 2010

Nguyên văn bởi ngojsaoleloj8814974 Xem Bài viết
Cho [TEX]a,b,c,d>0; ab+bc+cd+da=1. CMR: [/TEX]
[TEX]S=\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{d +a+b}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq\frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]Cauchy-Schwarz \Rightarrow LHS\ge \sum{\frac{(\sum{a^2})^2}{2(ab+bc+cd+da)+2(ac+bd)}}\ge \frac{1}{2+2(ac+bd)}\ge \frac{1}{3}[/TEX]

ngojsaoleloj8814974 · 20 Tháng sáu 2010

Một số bài nữa đây
sorry lâu rồi không bost bài vì bận wa'
Giải các hệ PT sau
[TEX]1,\left{\begin{x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9}\\{x^2+2xy=6x+6} [/TEX]
[TEX]2,\left{\begin{xy+x+1=7y}\\{x^2y^2+x+1=13y^2} [/TEX]
[TEX]3,\left{\begin{x^2+1+y(y+x)=4y}\\{(x^2+1)(y+x-2)=y} [/TEX]
Cực trị
1,
Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1.Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]A=\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt[]{y}+2z\sqrt[]{z}}+\frac{y^2(x+z)}{z\sqrt[]{z}+2x\sqrt[]{x}}+\frac{z^2(x+y)}{x\sqrt[]{x}+2y\sqrt[]{y}}[/TEX]
2,
Cho x,y>0 và[TEX] \frac{2}{x}+ \frac{3}{y}=6.[/TEX]Tìm GTNN của B= x+y
3,
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện:abc=1
Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]C=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}[/TEX]

tinhbanonlinevp447 · 20 Tháng sáu 2010

Chém bài dễ trước:

ngojsaoleloj8814974 said:
3,
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện:abc=1
Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]C=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}[/TEX]

[TEX]C=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}=\frac{bc}{a^2(b+c)}+\frac{ac}{b^2(a+c)}+\frac{ab}{c^2(a+b)}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{a^2(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}+\frac{1}{b^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}+\frac{1}{c^2(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{ b}}[/TEX]
Áp dụng bunhia ta có:
[TEX](\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+ \frac{\frac{1}{b^2 }}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}})(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+ \frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{ b}} \geq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]"=" khi a=b=c=1[/TEX]

duynhan1 · 20 Tháng sáu 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
2,
Cho x,y>0 và[TEX] \frac{2}{x}+ \frac{3}{y}=6.[/TEX]Tìm GTNN của B= x+y

[TEX]6B = (\frac{2}{x}+ \frac{3}{y}) (x+y) = 5 + \frac{2y}{x} + \frac{3x}{y} \geq 5 + 2 \sqrt{6} [/TEX]

tell_me_goobye · 20 Tháng sáu 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
[TEX]3,\left{\begin{x^2+1+y(y+x)=4y}\\{(x^2+1)(y+x-2)=y} [/TEX]

hệ [TEX]\Leftrightarrow \left\begin{(x^2+1)+(y^2+xy-2y)=2y}{(x^2+1)(y^2+xy-2y)=y^2} [/TEX]
đặt [TEX]x^2+1 =a ,y^2+xy-2y =b [/TEX]
hệ trở thành [TEX]\left\begin{a+b =2y}\\{ab=y^2} [/TEX]
[TEX] \Rightarrow (y-1)^2 = (a-1)(b-1)[/TEX]

\Rightarrowa=b=y
[TEX]\Rightarrow y=y^2+xy-2y \Rightarrow 1=x+y-2 \Rightarrow x+y=3[/TEX]
đến đây thế vào xong

tinhbanonlinevp447 · 21 Tháng sáu 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
[TEX]2,\left{\begin{xy+x+1=7y}\\{x^2y^2+x+1=13y^2} [/TEX]

[TEX]\left{\begin{xy+x+1=7y}\\{x^2y^2+x+1=13y^2} [/TEX]
Do y=0 không thỏa mãn hệ PT nên ở PT trên ta chia cả 2 vế cho[TEX] y.[/TEX]PT dưới ta chia cho [TEX]y^2[/TEX]
[TEX]\left{\begin{x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}=7}\\{x^2+ \frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}=13} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{(x+\frac{1}{y})+\frac{x}{y}=7}\\{(x+ \frac{1}{y})^2- \frac{ x}{y}=13}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{\frac{x}{y}=7-(x+\frac{1}{y})}\\{(x+\frac{1}{y})^2+(x+\frac{1}{y})-20=0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x+ \frac{1}{y}=-5}\\{x=12y}[/TEX]
(Hệ PT này vô nghiệm)
Hoặc:
[TEX]\left{\begin{x+ \frac{1}{y}=4}\\{x=3y}[/TEX]
Hệ này có 2 nghiệm:
[TEX](x;y)=(1;\frac{1}{3});(3;1)[/TEX]

quyenuy0241 · 21 Tháng sáu 2010

tell_me_goobye said:
hệ [TEX]\Leftrightarrow \left\begin{(x^2+1)+(y^2+xy-2y)=2y}{(x^2+1)(y^2+xy-2y)=y^2} [/TEX]
đặt [TEX]x^2+1 =a ,y^2+xy-2y =b [/TEX]
hệ trở thành [TEX]\left\begin{a+b =2y}\\{ab=y^2} [/TEX]
[TEX] \Rightarrow (y-1)^2 = (a-1)(b-1)[/TEX]

\Rightarrowa=b=y
[TEX]\Rightarrow y=y^2+xy-2y \Rightarrow 1=x+y-2 \Rightarrow x+y=3[/TEX]
đến đây thế vào xong

Bài này có vẻ không ổn:
[TEX] \left{\begin{\frac{x^2+1}{y}+(x+y-2)=2 \\\frac{x^2+1}{y}.(x+y-2)= 1[/TEX]

Xuất hiện ẩn phụ roài đó hen

ngomaithuy93 · 21 Tháng sáu 2010

ngojsaoleloj8814974 said:
[TEX]1,\left{\begin{x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9}\\{x^2+2xy=6x+6} [/TEX]

[TEX]Pt \Leftrightarrow \left{{[x(x+y)]^2=2x+9}\\{x(x+y)=6x+6}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{{[x(x+y)]^2=2x+9}\\{[x(x+y)]^2=(6x+6)^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (6x+6)^2=2x+9[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 36x^2+70x+27=0[/TEX]
[TEX] \Rightarrow x \Rightarrow y=6+\frac{6}{x}-x[/TEX]

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Chuyên đề về PT, hệ PT và BĐT

ngojsaoleloj8814974

son_9f_ltv

nhockthongay_girlkute

nhockthongay_girlkute

ngojsaoleloj8814974

thanhson1995

nhockthongay_girlkute

typhoon_vsthien_95

rooney_cool

tinhbanonlinevp447

tinhbanonlinevp447

tinhbanonlinevp447

son_9f_ltv

ngojsaoleloj8814974

tinhbanonlinevp447

duynhan1

tell_me_goobye

tinhbanonlinevp447

quyenuy0241

ngomaithuy93