Toán 11 [Chuyên đề] Ôn thi học sinh giỏi toán

[buimaihuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN

Chắc hẳn không ít bạn đang là mem của 4rum http://hocmai.vn nói chung và các mem yêu toán nói riêng đều mang trong mình nhiệt huyết cho môn toán.

Các bạn đều hi vong muốn trở thành học sinh giỏi toán, nằm trong top toán của lớp, đội

tuyển toán của trường.

Vậy thì không có lí do gì để bạn từ chối nó.

Buimaihuong xin lập một topic cho những mem yêu toán khối 11, mem có dự định

thi học sinh giỏi toán.

Các bạn cho ý kiến đóng góp nhé!

Chúc topic ngày càng sôi nổi, đào tạo được nhiều mem chuyên nghiệp giải toán, những

cử nhân toán tương lai, học sinh giỏi toán của trường lớp ... quốc gia.

chú ý: -truong bạn nào đã tổ chức thi olimpic toán, thi học sinh giỏi toán. Các bạn có thể vui lòng Post đề lên cho mọi người cùng giải được không?

-Các bạn post đề đánh số theo thứ tự

-Không spam ,tán gẫy trong pic,vi phạm là ăn thẻ đó nha ^^!

 

[lovelycat_handoi95]

đề 1

KỲ THI OLYMPIC BỈM SƠN LẦN THỨ I - 2009

MÔN TOÁN 11
Time: 180 min
​

CÂU I: ( 4 điểm )

1: GPT:

[TEX]\blue \sin^2 x + \sin 2x \sin 4x + .......... + \sin nx \sin n^2 x = 1 \ ( n \in N*)[/TEX]

2: GHPT:

[TEX]\blue \left { x^3-3x^2y-3x+y=0 \\ y^3-3y^2z-3y+z=0 \\ z^3-3z^2x-3z+x=0[/TEX]
CÂU II: ( 3 điểm )

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà các số tạo thành là:

1: Số có 3 chữ số khác nhau

2: Số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345

CÂU III: ( 4 điểm )

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N là 2 điểm di động trên 2 cạch AD' và BD sao cho [TEX]\blue \ AM=DN=x \ (0 \leq x \leq a\sqrt{2})[/TEX]

Tìm x để MN có độ dài min, max

CÂU IV: ( 2 điểm )

1: Cho 6 số thực a, b, c, d, e, f thoả mãn điều kiện [TEX]\blue \ ab+bc+cd+de+ef =1[/TEX]

[TEX]\blue CMR: \ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2 \geq \frac{1}{\cos \frac{\pi}{7}}[/TEX]

2: Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn điều kiện: [TEX]\blue \ a^{2009}+b^{2009}+c^{2009} = 3[/TEX]

Tìm max của [TEX]\blue \ M=a^2+b^2+c^2[/TEX]

CÂU V: ( 3 điểm )

Cho dãy [TEX]\blue \ (U_{n}) [/TEX]xác định bởi

[TEX]\blue \left{ U_1=1 \\ U_{n+1}=6U_n-1[/TEX]

1: Tính [TEX]\blue \ U_{2009}[/TEX]

2: Tính tổng 2009 số hạng đầu tiên của dãy [TEX]\blue \ (U_{n})[/TEX]

CÂU VI: ( 4 điểm )

1: Tính các giới hạn sau:

[TEX]\blue a: \ L_1=\lim_{x \to 0} \frac{(x^2+2009)\sqrt[11]{1-2x}-2009}{x} \\ b: \ L_2=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[4]{\sin x} -\sqrt[3]{\sin x}}{\cos^2 x}[/TEX]

2: CMR với d < 0 thì PT sau có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

[TEX]\blue x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX]

@: ủng hộ 1 đề

 

[buimaihuong]

KỲ THI OLYMPIC BỈM SƠN LẦN THỨ I - 2009

MÔN TOÁN 11
Time: 180 min
​

CÂU II: ( 3 điểm )

1, số có 3 chữ số khác nhau:

Gọi số có 3 chữ số là abc

a, b, c khác nhau. a # 0

vị trí a: 6 cách

vị trí b: 5 cách

vị trí c: 4 cách

\Rightarrow có 6.5.4 = 120 cách

xét th vi phạm a= 0

vị trí b: 5 cách

vị trí c: 4 cách

\Rightarrow có 5.4 = 20 thvp \Rightarrow có 120 - 20 = 100 số tm

2, số chẵn có 3 chữ số khác nhau không lớn hơn 345

gọi số đó là abc, abc \leq 345

a # 0 , a thuộc X = {1,2,3}, c thuộc Y = {0,2,4}

b thuộc Z ={0,1,2,3,4}

th1: chọn a =3: 1 cách

c: 3cách

b: 2 cách do trừ đi a, c

th2: chọn a < 3

c: 3 cách

a: 2 cách

b: 1 cách

suy ra có 3.2 +3.2 = 12 số


đến chỗ này mọi người xem xét cái.

Mình lười học tô hợp vì nghĩ ko hay thi đh

 

[nam_kieu]

KỲ THI OLYMPIC BỈM SƠN LẦN THỨ I - 2009

MÔN TOÁN 11
Time: 180 min
​

CÂU VI: ( 4 điểm )

1: Tính các giới hạn sau:

[TEX]\blue a: \ L_1=\lim_{x \to 0} \frac{(x^2+2009)\sqrt[11]{1-2x}-2009}{x} \\ b: \ L_2=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[4]{\sin x} -\sqrt[3]{\sin x}}{\cos^2 x}[/TEX]

2: CMR với d < 0 thì PT sau có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

[TEX]\blue x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0[/TEX]

@: ủng hộ 1 đề

Không có việc gì làm vào đây post nghịch vậy,=)), *** nhưng thích bon chen,=))

[TEX]\blue1\\a. L_1=\lim_{x \to 0 }\frac{x^2.\sqrt[11]{1-2x}-2009(\sqrt[11]{1-2x}-1)}{x}\\= \lim_{x \to 0}(x.\sqrt[11]{1-2x}+\frac{2009.2}{\sqrt[11]{1-2x}+1})\\=2009\\b. L_2=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[4]{\sin x} -\sqrt[3]{\sin x}}{\cos^2 x}\\= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(\frac{\sqrt[4]{{\sin x}}-1}{(1-sin x)(1+{\sin x})}+\frac{1-\sqrt[3]{\sin x}}{(1-sin x)(1+{\sin x})})=\frac{1}{24}[/TEX]

 

[braga]

CÂU IV: ( 2 điểm )
2: Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn điều kiện: [TEX]\blue \ a^{2009}+b^{2009}+c^{2009} = 3[/TEX]

Tìm max của [TEX]\blue \ M=a^2+b^2+c^2[/TEX]

Bon chen tí, em làm câu BĐT

Ta có: [TEX]a^{2009}+a^{2009}+2007\geq 2009\sqrt[2009]{a^{2009.2}}=2009.a^2[/TEX]

Tương tự ta có:

[TEX]2(a^{2009}+b^{2009}+c^{2009})+2007.3\geq 2009(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2009M\leq 6027 \Leftrightarrow M \leq 3[/TEX]

Vậy [TEX]\fbox{MaxM=3}[/TEX]

 

[nam_kieu]

Bon chen tí, em làm câu BĐT

Ta có: [TEX]a^{2009}+a^{2009}+2007\geq 2009\sqrt[2009]{a^{2009.2}}=2009.a^2[/TEX]

Tương tự ta có:

[TEX]2(a^{2009}+b^{2009}+c^{2009})+2007.3\geq 2009(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2009M\leq 6027 \Leftrightarrow M \leq 3[/TEX]

Vậy [TEX]\fbox{MaxM=3}[/TEX]

Nhanh thế, chị đang định làm mà, (

 

[buimaihuong]

CÂU V: ( 3 điểm )

Cho dãy [TEX]\blue \ (U_{n}) [/TEX]xác định bởi

[TEX]\blue \left{ U_1=1 \\ U_{n+1}=6U_n-1[/TEX]

1: Tính [TEX]\blue \ U_{2009}[/TEX]

2: Tính tổng 2009 số hạng đầu tiên của dãy [TEX]\blue \ (U_{n})[/TEX]

[TEX]U_{2} = U_{1+1} = 6U_1 + 1 = 6.1 -1, U_3 = 6.(6U_1 + 1) + 1, \Rightarrow U_n = 6^{n-1}.U_1 - 6^{n-2} -1[/TEX]

vậy [TEX]U_{2009} = 6^{2008}.1 - 6^{2007} - 1 =....[/TEX]

tính tổng [TEX]S_{2009} = \frac{U_1 + U_{2009}.d}{2} = ... (voi d = U_2 - U_1)[/TEX]

 

[buimaihuong]

Mọi người ơi mấy câu tiếp nè: Lượng giác



1, [TEX]cos(2x -18^{o}).tan50^{o} + sin(2x -18^{o}) = \frac{1}{2.cos130^{o}}[/TEX]

2, [TEX]3sin^{2}\frac{x}{2}cos(\frac{3\pi}{2} - 2x) + 3sin2xsin^{2}(\frac{3\pi}{2} +2x) + 2cos^{3}2x = 0[/TEX]

3, [TEX]sin^{3}(x - \frac{\pi}{6}) + 3sin^{3}(x + \frac{\pi}{3}) = cosx + sin2x[/TEX]

4, [TEX]\frac{3}{4} - 2sin2x - 2(sinx + cosx) - \frac{cos4x}{2} = 0[/TEX]

5, [TEX]tan^{3}x + cot^{3}x - 8sin^{3}2x = 12[/TEX]

 

[dragonduy]

1, số có 3 chữ số khác nhau:

Gọi số có 3 chữ số là abc

a, b, c khác nhau. a # 0

vị trí a: 6 cách

vị trí b: 5 cách

vị trí c: 4 cách

\Rightarrow có 6.5.4 = 120 cách

xét th vi phạm a= 0

vị trí b: 5 cách

vị trí c: 4 cách

\Rightarrow có 5.4 = 20 thvp \Rightarrow có 120 - 20 = 100 số tm

2, số chẵn có 3 chữ số khác nhau không lớn hơn 345

gọi số đó là abc, abc \leq 345

a # 0 , a thuộc X = {1,2,3}, c thuộc Y = {0,2,4}

b thuộc Z ={0,1,2,3,4}

th1: chọn a =3: 1 cách

c: 3cách

b: 2 cách do trừ đi a, c

th2: chọn a < 3

c: 3 cách

a: 2 cách

b: 1 cách

suy ra có 3.2 +3.2 = 12 số


đến chỗ này mọi người xem xét cái.

Mình lười học tô hợp vì nghĩ ko hay thi đh

Chuyên toán mà vậy sao?
Gọi abc là .......
TH1:
a là số 3: 1 cách
b là số 4: có 1 cách
c là số 0,1,2: có 3 cách
TH2:
a là số 3: 1 cách
b là số 0,1,2: có 3 cách
c là số 4,5; có 2 cách
th3:
a là số 1,2: có 2 cách
b và c có 5P2 cách chọn.
th4
abc là số 345
vậy có 3+3x2+2x5P2+1 = 50 số

Có j` thắc mắc xin liện hệ wa: "chữ ký của mình"

 

[acidnitric_hno3]

Chuyên toán mà vậy sao?

Gọi abc là .......
TH1:
a là số 3: 1 cách
b là số 4: có 1 cách
c là số 0,1,2: có 3 cách
TH2:
a là số 3: 1 cách
b là số 0,1,2: có 3 cách
c là số 4,5; có 2 cách
th3:
a là số 1,2: có 2 cách
b và c có 5P2 cách chọn.
th4
abc là số 345
vậy có 3+3x2+2x5P2+1 = 50 số

Có j` thắc mắc xin liện hệ wa: "chữ ký của mình"

Bạn ơi, đề yêu cầu số chẵn mà.
TH.
1. a = 3: 1 cách
c thuộc { 0,2,4}: 3 cách
=> b \leq4, b #a, b#c: 3cách chọn
=> 9 cách
2. a = 2: 1 cách
c thuộc {0,2,4}, c#a => có 2cach
=> b #a, b#c b\leq 5=> Có 4 cách.
=> 8 cách
3. a= 1
c thuộc {0,2,4}: 3 cách
b #a, b#c, b\leq5: 4 cách
=> 12 cách
Tông: 9+8+12 = 29 cách

 

[nam_kieu]

Bạn ơi, đề yêu cầu số chẵn mà.
TH.
1. a = 3: 1 cách
c thuộc { 0,2,4}: 3 cách
=> b \leq4, b #a, b#c: 3cách chọn
=> 9 cách
2. a = 2: 1 cách
c thuộc {0,2,4}, c#a => có 2cach
=> b #a, b#c b\leq 5=> Có 4 cách.
=> 8 cách
3. a= 1
c thuộc {0,2,4}: 3 cách
b #a, b#c, b\leq5: 4 cách
=> 12 cách
Tông: 9+8+12 = 39 cách

Bài cậu làm đúng, cơ mà cái cuối ý,=)),29 số nhé,=))

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau mà trong đó có 2 chữ số chẵn và 2 chũ số lẻ đứng cạnh nhau (đ/s :360)

 

[ngocthao1995]

4, [TEX]\frac{3}{4} - 2sin2x - 2(sinx + cosx) - \frac{cos4x}{2} = 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3-8sin2x-8(sinx+cosx)-2cos4x=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3-8sin2x-8(sinx+cosx)-2(1-2sin^22x)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1-8sin2x-8(sinx+cosx)+4sin^22x=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 1-4sin2x(2-sin2x)-8(sinx+cosx)=0 (*)[/TEX]

Đặt [TEX]sinx+cosx=t \Leftrightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}[/TEX]

[TEX](*) \Leftrightarrow 1-4(t^2-1)(2-t^2+1)-8t=0[/TEX]

Giải tìm t --> nghiệm

 

[buimaihuong]

Chuyên toán mà vậy sao?

Bạn ơi mình đâu có bảo là mình là học sinh lớp chuyên

Thứ 2 mình lập ra topic đâu chỉ để dành cho học sinh lớp chuyên bất cứ ai yêu thích và có mục tiêu thi học sinh giỏi toán đều có thể làm mà

Và mình đã nói rằng cái phần tổ hợp mình không học ''chăm chỉ'', do nó ít khi ra trong đề thi đại học, nhưng với thi hsg thì có, nên mình bắt đầu học lại

có một số bài ở trên chưa thấy các bạn làm mình sẽ gom lại để ở một trang trong topic này, làm xong các câu dễ rồi đến khó.

Đừng bỏ cuộc: ''Thất bại là khi bạn bỏ cuộc''

một số câu khác này:

1. xét các số thực a,b,c sao cho phương trình bậc hai [TEX]ax^2 + bx + c = 0[/TEX]có

hai nghiệm thực thuộc đoạn [0;1]. hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

[TEX]M = \frac{(a-b)(2a - c)}{a(a - b + c)}[/TEX]

2, . cho cá số dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a \geqb \geq c \geq d và abcd=1. tìm

hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng

[TEX]\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} + \frac{k}{d+1} \geq \frac{3 +k}{2}[/TEX]

 

[nuhoangbongdem95]

KỲ THI OLYMPIC BỈM SƠN LẦN THỨ I - 2009

MÔN TOÁN 11
Time: 180 min
​

CÂU I: ( 4 điểm )

1: GPT:

[TEX]\blue \sin^2 x + \sin 2x \sin 4x + .......... + \sin nx \sin n^2 x = 1 \ ( n \in N*)[/TEX]

[TEX]+ n= 1 [/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow sin^2x=1 \\ \Leftrightarrow cos^2x=0 \\ \Leftrightarrow cosx=0 \\ \Leftrightarrow x= \frac{\pi}{2}+k\pi[/TEX]

+n=2,3,4.... Tương tự ...

[TEX]+ n=k[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow \sin^2 x + \sin 2x \sin 4x + .......... + \sin kx \sin k^2 x = 1 [/TEX]

[TEX]+n= k+1 [/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow \sin^2 x + \sin 2x \sin 4x + .......... + \sin kx \sin k^2 x +\sin (k+1)x \sin (k+1)^2 x = 1 \\ \Leftrightarrow sin (k+1)x \sin (k+1)^2 x =0 \\ \Leftrightarrow \left [sin (k+1)x \\sin (k+1)^2 x =0 .[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \left [x= \frac{k\pi}{k+1} + z\pi \\ x= \frac{k\pi}{(k+1)^2}+z\pi[/TEX]

 

[dragonduy]

Bạn ơi, đề yêu cầu số chẵn mà.
TH.
1. a = 3: 1 cách
c thuộc { 0,2,4}: 3 cách
=> b \leq4, b #a, b#c: 3cách chọn
=> 9 cách
2. a = 2: 1 cách
c thuộc {0,2,4}, c#a => có 2cach
=> b #a, b#c b\leq 5=> Có 4 cách.
=> 8 cách
3. a= 1
c thuộc {0,2,4}: 3 cách
b #a, b#c, b\leq5: 4 cách
=> 12 cách
Tông: 9+8+12 = 39 cách

sr mình ko để ý tới cái chữ chẵn. Thank you ..............................................

 

[buimaihuong]

KỲ THI OLYMPIC BỈM SƠN LẦN THỨ I - 2009

MÔN TOÁN 11
Time: 180 min
​

2: GHPT:

[TEX]\blue \left { x^3-3x^2y-3x+y=0 \\ y^3-3y^2z-3y+z=0 \\ z^3-3z^2x-3z+x=0[/TEX]

xét [TEX]x^3 -3x^2y - 3x + y = 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y(1 - 3x^2) = 3x - x^3[/TEX]

nếu x [TEX]\pm \ \frac{1}{\sqrt3}[/TEX] thì y [TEX]\in \\empty \[/TEX]

do đó \Rightarrow x, y, z [TEX]\not\Rightarrow \ \frac{1}{\sqrt3}[/TEX]

đặt [TEX]x = tana, y = tan b, z = tan c[/TEX]

a, b, c [TEX]\in \ (\frac{- pi}{2}, \frac{pi}{2}[/TEX]

hệ phương trình trở thành:

[TEX]\left{\begin{y = \frac{3x - x^3}{1 -3x^2}}\\{z = \frac{3y -y^3}{1 - 3y^2}} \\{x = \frac{3z - x^3}{1 - 3z^2}}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{tan b= tan3a}\\{tan c = tan3b}\\{tan a = tan3c} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{ b= 3a + k_{1}pi}\\{ c = 3b + k_{2}pi}\\{ a = 3c + k_{3}pi} [/TEX]

\Rightarrow [TEX]\frac{- pi}{2} < b < \frac{pi}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{- pi}{2} < 3a + k_{1}pi < \frac{pi}{2}[/TEX]

[TEX]a > \frac{- pi}{2} \Rightarrow k_{1}pi < \frac{pi}{2} - 3a < \frac{pi}{2} + \frac{3pi}{2} = 2pi \Rightarrow k_{1} < 2[/TEX]

ta lại có [TEX]a < \frac{pi}{2} \Rightarrow k_{1}pi > \frac{-pi}{2} - 3a > \frac{-pi}{2} - \frac{3pi}{2} = -2pi \Rightarrow k_{1} > -2[/TEX]

\Rightarrow [TEX]k_{1}\in \ {-1, 0, -1}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]k_{2}, k_{3} \in \ {-1, 0, -1} [/TEX]

 

[genius_hocmai]

bài tập lượng giác
2, phương trình đã cho

[tex] \Leftrightarrow 3{sin}^2\frac{x}{2}. cos(\frac{3\pi}{2}-2x)+3sin2x.{sin}^2{\frac{3\pi}{2}[/tex]

 

[buimaihuong]

bài tập lượng giác
2, phương trình đã cho

\Leftrightarrow 3{sin}^2\frac{x}{2}. cos([tex] \frac{3\pi}{2}-2x)[/tex]+3sin2x.{sin}^2{\frac{3\pi}{2}

cảm ơn vì bn đã tham gia topic, nhưng chú ý latex nhé!

thân!

 

[anhtraj_no1]

xét [TEX]x^3 -3x^2y - 3x + y = 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]y(1 - 3x^2) = 3x - x^3[/TEX]

nếu x [TEX]\pm \ \frac{1}{\sqrt3}[/TEX] thì y [TEX]\in \\empty \[/TEX]

do đó \Rightarrow x, y, z [TEX]\not\Rightarrow \ \frac{1}{\sqrt3}[/TEX]

đặt [TEX]x = tana, y = tan b, z = tan c[/TEX]

a, b, c [TEX]\in \ (\frac{- pi}{2}, \frac{pi}{2}[/TEX]

hệ phương trình trở thành:

[TEX]\left{\begin{y = \frac{3x - x^3}{1 -3x^2}}\\{z = \frac{3y -y^3}{1 - 3y^2}} \\{x = \frac{3z - x^3}{1 - 3z^2}}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{tan b= tan3a}\\{tan c = tan3b}\\{tan a = tan3c} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\left{\begin{ b= 3a + k_{1}pi}\\{ c = 3b + k_{2}pi}\\{ a = 3c + k_{3}pi} [/TEX]

\Rightarrow [TEX]\frac{- pi}{2} < b < \frac{pi}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{- pi}{2} < 3a + k_{1}pi < \frac{pi}{2}[/TEX]

[TEX]a > \frac{- pi}{2} \Rightarrow k_{1}pi < \frac{pi}{2} - 3a < \frac{pi}{2} + \frac{3pi}{2} = 2pi \Rightarrow k_{1} < 2[/TEX]

ta lại có [TEX]a < \frac{pi}{2} \Rightarrow k_{1}pi > \frac{-pi}{2} - 3a > \frac{-pi}{2} - \frac{3pi}{2} = -2pi \Rightarrow k_{1} > -2[/TEX]

\Rightarrow [TEX]k_{1}\in \ {-1, 0, -1}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]k_{2}, k_{3} \in \ {-1, 0, -1} [/TEX]

Những bài hệ hoán vị thế này nếu dùng hàm số được thì nên dùng,