Toán 11 [Chuyên đề] Đạo hàm và các ứng dụng

[TEX](1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+............+C_n^n[/TEX] (*)

Ta lại có:
[TEX](1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+............+C_n^nx^n[/TEX]
Đạo hàm vế trái:
[TEX]n(1+x)^{n-1}(1)[/TEX]
Đạo hàm vế phải:
[TEX]0+C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+............+nC_n^nx^{n-1}(2)[/TEX]


[TEX](1)=(2)\Leftrightarrow C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+............+nC_n^nx^{n-1}=n(1+x)^{n-1}[/TEX]
Thế x=1 vào :
[TEX]n(2)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+............+nC_n^n[/TEX] (*)(*)
(*)+(*)(*) vế theo vế là ok

 

Chém xong rồi , post đáp án 3 bài đạo hàm nhé :

[TEX]1)\ y=cos^2(x^3-1)[/TEX]

[TEX]y'=[cos^2(x^3-1)]'=2.cos(x^3-1).[cos(x^3-1)]'[/TEX]

[TEX]y'=2.cos(x^3-1)[-sin(x^3-1)](x^3-1)'[/TEX]

[TEX]y'=-2.cos(x^3-1)sin(x^3-1).3x^2=-3.x^2.sin2(x^3-1)[/TEX]



[TEX]2)\ y=tan^3(3x^2+5)[/TEX] Giả thiết [TEX]3x^2+5\not=\frac{\pi}{2}+k\pi (k \in Z)[/TEX]

[TEX]y'=[tan^3(3x^2+5)]'=3.tan^2(3x^2+5).[tan(3x^2+5)]'[/TEX]

[TEX]y'=3.tan^2(3x^2+5).\frac{1}{cos^2(3x^2+5)}.(3x^2+5)'[/TEX]

[TEX]y'=3.tan^2(3x^2+5).\frac{1}{cos^2(3x^2+5)}.6x[/TEX]

[TEX]y'=18x.\frac{sin^2(3x^2+5)}{cos^4(3x^2+5)}[/TEX]



[TEX]3)\ y=cot^5(3x-1)[/TEX] Giả thiết [TEX]3x-1\not= k\pi (k \in Z)[/TEX]

[TEX]y'=[cot^5(3x-1)]'=5.cot^4(3x-1).[cot(3x-1)]'[/TEX]

[TEX]y'=5.cot^4(3x-1).[-\frac{(3x-1)'}{sin^2(3x-1)}][/TEX]

[TEX]y'=-15.cot^4(3x-1).\frac{1}{sin^2(3x-1)}=\frac{-15.cos^4(3x-1)}{sin^6(3x-1)}[/TEX]


:khi (85):

 

Vi phân và phép tính gần đúng



Vi phân là phần học bắt buộc với Sinh viên chuyên ngành Khoa học-Công nghệ-Kĩ thuật và Tài chính-Kinh tế , Toán học ... và chương trình học ở bậc ĐH của Sinh viên các ngành khác . Mình nêu vài ý căn bản để các bạn làm quen với nó ( sau này học ĐH khỏi bỡ ngỡ ) )



Định nghĩa Vi phân :

Cho hàm số [TEX]y=f(x)[/TEX] xác định trên khoảng [TEX](a;b)[/TEX] và có đạo hàm tại [TEX]x\in(a;b)[/TEX] . Giả sử [TEX]\Delta x[/TEX] là số gia của [TEX]x[/TEX] sao cho [TEX]x+\Delta x\in (a;b)[/TEX] .

Ta gọi tích [TEX]f'(x).\Delta x[/TEX] là vi phân của hàm số [TEX]f(x)[/TEX] tại [TEX]x[/TEX] ứng với số gia [TEX]\Delta x[/TEX] .

Kí hiệu [TEX]df(x)=f'(x).\Delta x[/TEX]

hoặc [TEX]dy=f'(x).\Delta x[/TEX]


Chú ý : Áp dụng định nghĩa trên sang hàm số [TEX]y=x[/TEX] thì :

[TEX]dx=(x)'.\Delta x=1.\Delta x=\Delta x[/TEX]

Vậy : Ta có : [TEX]df(x)=f'(x).dx[/TEX]

hoặc [TEX]dy=f'(x).dx[/TEX]


Ví dụ : [TEX]d(x^3-5x+1)=(3x^2-5)dx[/TEX]

[TEX]d(sin^3x)=3.sin^2x.cosx.dx[/TEX]



Ứng dụng vi phân sang phép tính gần đúng :


Theo định nghĩa của đạo hàm , ta có :

[TEX]f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/TEX]

Do đó với [TEX]|\Delta x|[/TEX] đủ nhỏ thì :

[TEX]\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x_0) \ hay \ \Delta y \approx f'(x_0).\Delta x[/TEX]

[TEX]<=> \ f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \approx f'(x_0).\Delta x[/TEX]

[TEX]<=> \ \fbox{f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0)+f'(x_0).\Delta x}(1)[/TEX]

[TEX](1)[/TEX] là công thức tính gần đúng căn bản nhất &lt;

 

Đáp án 2 bài gần đúng :


[TEX]4)[/TEX] Tính giá trị gần đúng của [TEX]\sqrt{3,99}[/TEX]

Đặt [TEX]f(x)=\sqrt{x}[/TEX] , ta có [TEX]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/TEX]

Theo công thức tính gần đúng [TEX](1)[/TEX] , với [TEX]x_0=4 \ ; \ \Delta x=-0,01[/TEX] ta có :

[TEX]f(3,99)=f(4-0,01) \approx f(4)+f'(4).(-0,01)[/TEX]

Nghĩa là [TEX]\sqrt{3,99}=\sqrt{4-0,01} \approx \sqrt{4}+\frac{1}{2\sqrt{4}}.(-0,01)=1,9975[/TEX]


[TEX]5)[/TEX] Tính [TEX]sin29^0[/TEX] :

Đặt [TEX]y=sinx[/TEX] , ta có [TEX]y'=cosx[/TEX]

Áp dụng công thức tính gần đúng căn bản [TEX](1)[/TEX] , ta có :

[TEX]sin29^0=sin(30^0-1^0) \approx sin30^0 +cos30^0.(\frac{-1}{60})[/TEX]

[TEX]==> \ sin29^0 \approx \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{60} \approx 0,4849[/TEX]

Qua bài này , ta cũng chứng minh được [TEX]sin1^0[/TEX] là số vô tỉ &lt;


Bài tập :

Bài [TEX]1[/TEX] : Chứng minh rằng vi phân [TEX]dy[/TEX] và số gia [TEX]\Delta y[/TEX] của hàm số [TEX]y=ax+b[/TEX] trùng nhau .

Bài [TEX]2[/TEX] : Chứng minh rằng với [TEX]|x|[/TEX] rất bé so với [TEX]a>0 \ (|x| \leq a)[/TEX] ta có :

[TEX]\sqrt{a^2+x} \approx a+\frac{x}{2a} (a>0)[/TEX]

Áp dụng công thức trên , tính gần đúng các số : [TEX]\sqrt{5} \ ; \ \sqrt{34} \ ;\ \sqrt{120}[/TEX]

:khi (85):

 

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [TEX]y=f(x)[/TEX] tại điểm [TEX]M_0(x_0;y_0)[/TEX] là :

[TEX]y-y_0=f'(x_0).(x-x_0) \ voi \ y_0=f(x_0)[/TEX]

Chú ý : [TEX]f'(x_0)[/TEX] là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại [TEX]M_0(x_0;f(x_0))[/TEX]

Ví dụ : Cho hàm số : [TEX]y=\frac{x^2+x}{x-2}(1)[/TEX]

Viết phương trình tiếp tuyến với [TEX](1)[/TEX] tại điểm [TEX]A(1;-2)[/TEX]

Giải : Ta có :

[TEX]y=f(x)=\frac{x^2+x}{x-2}[/TEX]

[TEX]y'=f'(x)=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}[/TEX]

[TEX]f'(1)=-5[/TEX] . Phương trình tiếp tuyến với [TEX](1)[/TEX] tại [TEX]A(1;-2)[/TEX] là :

[TEX]y+2=-5(x-1) \ ==> \ y=-5x+3[/TEX]

Bài tập căn bản : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của các hàm số :

[TEX]1) \ y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}[/TEX] tại điểm có hoành độ [TEX]x=0[/TEX]

[TEX]2) \ y=x^2-4x+4[/TEX] tại điểm có tung độ bằng [TEX]1[/TEX]

[TEX]3) \ y=x^3-3x^2+2[/TEX] tại điểm [TEX](-1;-2)[/TEX]

[TEX]4) \ y=\sqrt{2x+1}[/TEX] biết hệ số góc của tiếp tuyến là [TEX]\frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]5) \ y=\frac{1}{x}[/TEX] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng [TEX]x+4y-4=0[/TEX]

:khi (37):

 

Dạng :Sử dụng đạo hàm trái, phải để tính đạo hàm

[TEX]\blue{\mathrm{1. f(x)= x(x-1)(x-2)....(x-19994),\ tinh\ f'(0)[/TEX]

[TEX]\blue{2. g(x)= \left{\frac{sin^2x}{x},\forall\ x\ \not= 0 \\ 0, x=0 \right.[/TEX].

Tính g'(0)

 

[TEX]f'(x_0)=lim \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} (x---> x_0)[/TEX]

 

Tìm đạo hàm bằng pp logarit 2 vế

1. [tex]y = {({x^2} + 1)^x}[/tex]
2. [tex]y = \frac{{{{({x^2} + 1)}^4}.\sqrt {{x^2} + 3} }}{{{{(x - 4)}^3}.\sqrt[3]{{6x + 1}}}}[/tex]