[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC​

Để bắt đầu cuộc hành trình, ta không thể không chuẩn bị hành trang lên đường. Toán học cũng vậy. Muốn khám phá cái hay cái đẹp của lượng giác, ta cần có những "vật dụng" chắc chắn và hữu dụng. Vì vậy mình lập ra topic này để các bạn cùng nhau post những bài lượng giác hay để chúng ta cùng nhau thảo luận và làm quen với dạng toán này, chuẩn bị kiến thức cho phần phương trình lượng giác lớp 11.

Mong các bạn ủng hộ.​

Mình xin post trước 2 bài:

Bài 1:Tính

a) [TEX]tan 9^o -tan 27^o - tan 63^o + tan 81^o[/TEX]

b) [TEX]\frac{1}{sin 18^o} - \frac{1}{sin 54^o}[/TEX]

Bài 2: Rút gọn:

a) [TEX]cos ({\pi}/{11}) + cos ({3\pi}/{11}) + cos ({5\pi}/{11})+ cos ({7\pi}/{11}) +cos ({9\pi}/{11})[/TEX]

b) [TEX]sin ({2 \pi}/{7}) + sin ({4 \pi}/{7}) + sin ({6 \pi}/{7})[/TEX]

c) [TEX]sin ({\pi}/{11}) + sin ({2 \pi}/{11}) + .....+sin ({10 \pi}/{11})[/TEX]

 

[rooney_cool]

Bài 1 |-)

Câu [TEX] b[/TEX] đã được tính luôn trong câu [TEX]a[/TEX] He

 

[phuong10a3]

1,rút gọn:A=[tex]\frac{tan2a+cot2a}{1+tan2a.tan4a}[/tex]
2,tính:B=cosa.cos2a.cos4a..... .cos2^n a
3,rút gọn=cos^3 a.cos3a+sin^3 a.sin3a
4,cmr: tana+tanb+tanc-[tex]\frac{sin(a+b+c)}{cosa.cosb.cosc}[/tex] = tana.tanb.tanc
5,so sánh: sin1, sin2, sin3
6,rut gọn: C=[tex]\frac{1}{cos^6x}[/tex] - tan^6 x- [tex]\frac{3tan^2 x}{cos^2 x}[/tex]

 

[duoisam117]

4. CMR: [tex]tana+tanb+tanc-\frac{sin(a+b+c)}{cosa.cosb.cosc}= tana.tanb.tanc[/tex]

Hình như là đề thiếu thì phải :-? Phải c0a' tam giác ABC mới ổn bn ợ :|

1. Rút gọn:[tex]A= \frac{tan2a+cot2a}{1+tan2a.tan4a}[/tex]

[TEX]Condition: \ sin 4a \neq 0[/TEX]

 

[duynhan1]

2,tính:B=cosa.cos2a.cos4a..... .cos2^n a

[TEX]B.sin a= sina.cosa.cos2a.....cos 2^n.a[/TEX]

[TEX]B. sina = \frac{sin 2^na.cos2^n.a}{2^n} = \frac{sin 2^{n+1}. a}{2^{n+1}}}[/TEX]

[TEX]B= \frac{sin( 2^{n+1}.a)}{2^{n+1}.sina}[/TEX]

So sánh sin1, sin2, sin 3

[TEX]sin1 - sin2 = 2. cos {\frac{3}{2}}. cos{\frac{-1}{2}} >0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow sin1>sin2[/TEX]

Tương tự [TEX]sin2>sin3[/TEX]

3. rút gọn [TEX]A=cos^3.cos3a + sin^3a.sin3a[/TEX]

[TEX]A=cos^3.(4cos^3a-3 cos a) + sin^3a(3sina - 4sin^3a)[/TEX]

[TEX]A= 4(cos^6a-sin^6a) + 3 (sin^4a-cos^4a)[/TEX]

[TEX]DAT: t=sin^2a[/TEX]

[TEX]A=4((1-t)^3-t^3) + 3 (t^2-(1-t)^2 )[/TEX]

[TEX]A= 4 -12t + 12t^2 - 8 t^3 - 3 + 6t[/TEX]

[TEX]A=-8t^3 +12t^2 -6t +1[/TEX]

[TEX]A=(1-2t)^2 = (1-2sin^2a)^2 = (cos 2a)^2= cos^2 2a[/TEX]

[TEX]6. C= \frac{1}{cos ^6 x} - tan^6 x - 3 \frac{tan^2 x}{cos^2x}[/TEX]

[TEX]C= \frac{1-sin^6x}{cos^6} - \frac{3sin^2x}{cos^4x}[/TEX]

[TEX]C = \frac{1-sin^6x - 3sin^2x.cos^2x}{cos^6x}[/TEX]

[TEX]Dat: t=sin^2x[/TEX]

[TEX]C= \frac{1-t^3 -3t + 3t^2}{(1-t)^3} =1[/TEX]

 

[duynhan1]

1.Tìm max: [TEX]\sqrt{sinx} + \sqrt{cos x} \forall x \in (0; \frac{{\pi}}{2})[/TEX]

2.Chứng minh rằng với mọi số thực a và x ta luôn có:

[TEX]\mid \frac{(1-x^2)sina + 2x cosa}{1+x^2} \mid \leq 1[/TEX]

3. CHứng minh rằng với mọi [TEX]\Delta ABC[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{{sin A} + {sin B} + {sin C}}{{cos A} + {cos B} + {cos C}} \leq \frac{tan A + tan B + tan C}{3}[/TEX]

 

[rooney_cool]

1.Tìm max: [TEX]\sqrt{sinx} + \sqrt{cos x} \forall x \in (0; \frac{{\pi}}{2})[/TEX]

2.Chứng minh rằng với mọi số thực a và x ta luôn có:

[TEX]\mid \frac{(1-x^2)sina + 2x cosa}{1+x^2} \mid \leq 1[/TEX]

3. CHứng minh rằng với mọi [TEX]\Delta ABC[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{{sin A} + {sinb B} + {sin C}}{{cos A} + {cos B} + {cos C}} \leq \frac{tan A + tan B + tan C}{3}[/TEX]

Áp dụng [TEX]Cauchy - Schwars[/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi [TEX]sinx = cos x = \frac{\pi}{4}[/TEX]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Áp dụng [TEX]Cauchy - Schwars [/TEX]là ra (trong đó có cặp số [TEX]sina ; cosa[/TEX])

 

[rooney_cool]

BT thôi ^^

Cho [TEX]a,b[/TEX] là 2 số thực thỏa

[TEX]cosa + cosb + cosacosb \geq 0[/TEX]

[TEX]CMR: cosa + cosb \geq 0[/TEX]

 

[giotbuonkhongten]

Ủng hộ vài bài^^!

Giải pt
[tex]1. \frac{ Sin^{10}{x} + cos^{10}{x} }{4}= \frac{ sin^6{x} + cos^6{x}}{4cos^2{2x} + sin^2{2x} }[/tex]

[TEX]2. tanx + tan^2{x} + tan^3{x} + cotx + cot^2{x} + cot^3{x} = 6[/TEX]

[TEX]3. cos^{13}{x} + sin^{14}{x} = 1[/TEX]

[TEX]4. sin x + {\sqrt{2 - sin^2x} + sin x \sqrt {2 - sin^2x} = 3[/TEX]

Đinh a để pt sau có nghiệm

[tex]5. \left\{ cosx = a cos^3{y} \\ sinx = a sin^3{y} \right.[/tex]



Giải hệ pt

[tex]6. \left\{ cosx - cos2y = x - 2y\\ tanx = 3 tany \right.[/tex]

Khi nào rảnh lại post tiếp
Sr mấy e. Mấy bài hệ nếu chưa học thì sau này giải cũng được.

 

[duoisam117]

Tính: [TEX]B= \ sin^4 \ \frac{\pi}{16} \ + \ sin^4 \ \frac{3\pi}{16} \ + \ sin^4 \ \frac{5\pi}{16} \ + \ sin^4 \ \frac{7\pi}{16}[/TEX]

@ phuonga3: Để nó trong cả biểu thức bn nha
@ all: Khoan post bài tiếp nha. Còn cả đống chưa làm. Bài 2 của duynhan1

 

[rua_it]

Cho [TEX]a,b[/TEX] là 2 số thực thỏa

[TEX]cosa + cosb + cosacosb \geq 0[/TEX]

[TEX]CMR: cosa + cosb \geq 0[/TEX]

[tex]\mathrm{Dat:\left{\begin{x=cosa}\\{y=cosb \ (DK:\ 0 \leq x,y \leq 1)[/tex]

[tex]\mathrm{AM-GM \Rightarrow \frac{cosa+cosb}{2}+1 \geq 2.\sqrt{(1+x).(1+y)}(1)[/tex]

[tex]x+y+x.y=(x+1).(y+1)-1 \Rightarrow cosa + cosb + cosacosb \geq 0 \Leftrightarrow (x=y)(y+1) \geq 1(2)[/tex]

[tex](1)&(2)\Rightarrow cosa+cosb \geq 0[/tex]

 

[phuong10a3]

@ phuonga3: Lần sau bn để thẻ trong cả biểu thức bn nha
@ all: Khoan post bài tiếp nha. Còn cả đống chưa làm. Bài 2 của duynhan1

ban oi, la sin^4 ma, co phai la sin^2 dau, chi ro cach lam ban nhe,thanks

 

[quyenuy0241]

\Leftrightarrow

Giải pt
[tex]1. \frac{ Sin^{10}{x} + cos^{10}{x} }{4}= \frac{ sin^6{x} + cos^6{x}}{4cos^2{2x} + sin^2{2x} }[/tex]

[TEX]2. tanx + tan^2{x} + tan^3{x} + cotx + cot^2{x} + cot^3{x} = 6[/TEX]

[TEX]3. cos^{13}{x} + sin^{14}{x} = 1[/TEX]

[TEX]4. sin x + {\sqrt{2 - sin^2x} + sin x \sqrt {2 - sin^2x} = 3[/TEX]

Đinh a để pt sau có nghiệm

[tex]5. \left\{ cosx = a cos^3{y} \\ sinx = a sin^3{y} \right.[/tex]



Giải hệ pt

[tex]6. \left\{ cosx - cos2y = x - 2y\\ tanx = 3 tany \right.[/tex]

Khi nào rảnh lại post tiếp
Sr mấy e. Mấy bài hệ nếu chưa học thì sau này giải cũng được.

1.[tex]sin^10x+cos^10x \le sin^6x+cos^6x [/tex]

[tex]4=4sin^22x+4cos^22x \le 4cos^2x+sin^2x[/tex]

Suy ra [tex]VP \ge VP [/tex]

Giải dấu = ra là ok

2. [tex] tanx+cosx \ge 2 [/tex]

[tex]cot^2x+tan^2x \ge 2 [/tex]

[tex]cot^3x+tan^3x \ge 2 [/tex]

[tex]VT \ge VP [/tex]

Giải dấu = ra là ok

3. [tex]\left{\begin{cos^13x \le cos^2x \\ sin^14x \le sin^2x}[/tex]

[tex]VT \le VP[/tex]

Giải dấu = ra là ok

4.

BCS:

[tex](sinx+\sqrt{2-sin^2x})^2 \le (1+1)(sin^2x+2-sin^2x)=4 \Rightarrow sinx+\sqrt{2-sin^2x}\le 2 [/tex]

[tex]sinx.\sqrt{2-sin^2x} \le |sinx.\sqrt{2-sin^2x}| \le \frac{sin^2x+2-sin^2x}{2}=1[/tex]

Công 2 BDT trên

[tex]Vt \le Vp [/tex]

Giải dấu = là ok

 

[duoisam117]

Tính: [TEX]B= \ sin^4 \ \frac{\pi}{16} \ + \ sin^4 \ \frac{3\pi}{16} \ + \ sin^4 \ \frac{5\pi}{16} \ + \ sin^4 \ \frac{7\pi}{16}[/TEX]

Sr!

Cách này chắc dễ hỉu hơn :|

 

[rua_it]

3. CHứng minh rằng với mọi [TEX]\Delta ABC[/TEX] ta có:

[TEX]\frac{{sin A} + {sin B} + {sin C}}{{cos A} + {cos B} + {cos C}} \leq \frac{tan A + tan B + tan C}{3}[/TEX]

Dễ nhận thấy [tex]\mathrm{Chebyshev's \ inequality}[/tex]

[tex]\mathrm{(\frac{cosA+cosB+cosC}{3}).(\frac{tanA+tanB+tanC}{3}) \geq \frac{1}{3}.(sinA+sinB+sinC)(Ass:C \geq B \geq A)}[/tex]

 

[duoisam117]

Bài 2: Rút gọn:

a) [TEX]cos ({\pi}/{11}) + cos ({3\pi}/{11}) + cos ({5\pi}/{11})+ cos ({7\pi}/{11}) +cos ({9\pi}/{11})[/TEX]

Có vẻ dài nhỉ :|

 

[duoisam117]

 

[duynhan1]

[TEX]\frac{sin {\frac{a+b}{2}}}{cos {\frac{a+b}{2}}} = \frac{sin a + sinb }{cos a + cos b} = \frac{21}{27} [/TEX]

Lại có : [TEX]sin ^2({\frac{a+b}{2}}) + cos^2 ({\frac{a+b}{2}}) =1 [/TEX]

Do đk: [TEX]2 \pi <a+b< 3 \pi[/TEX] [TEX]\Rightarrow cos {\frac{a+b}{2}} <0 & sin {\frac{a+b}{2}} <0[/TEX]

Tính được [TEX]\Rightarrow cos {\frac{a+b}{2}} & sin {\frac{a+b}{2}} [/TEX]

Áp dụng công thức nhân đôi tính cái còn lại

 

[silvery21]

ủng hộ

.

.. ...)

 

[bigbang195]

Tính

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có