Toán 10 Chứng minh

[huyenhuyen5a12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. M là điểm di động trên đường thẳng AC. Tìm Min:
[math]|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC}| + 3|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|[/math]

 

[7 1 2 5]

Gọi [imath]G[/imath] là trọng tâm [imath]\Delta ABC[/imath] và vẽ hình bình hành [imath]ABCD[/imath].
Khi đó [imath]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}[/imath]
[imath]\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA})-(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})[/imath]
[imath]=\overrightarrow{MD}+(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB})[/imath]
[imath]=\overrightarrow{MD}[/imath]
Từ đó ta đưa về bài toán tìm [imath]\min (3MG+3MD)[/imath]
Dễ thấy [imath]MG+MD \geq GD=BD-BG[/imath]
Gọi [imath]H[/imath] là trung điểm [imath]AC[/imath] thì [imath]BH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a,BD=2BH,BG=\dfrac{2}{3}BH[/imath]
[imath]\Rightarrow MG+MD \geq \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]M \equiv H[/imath].
Từ đó [imath]\min |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC}| + 3|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|=2\sqrt{3}a[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Phương pháp “mất gốc” vectơ