Nhận thấy [imath]m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)[/imath] và [imath](m_a+m_b+m_c)^2 \leq 3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)[/imath] nên ta có:
[math]\dfrac{9}{2}R=m_a+m_b+m_c \leq \dfrac{3}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2} \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 9R^2[/math]Từ đó ta cần chứng minh [imath]a^2+b^2+c^2 \leq 9R^2[/imath] nữa là xong bài toán.
+ Cách 1: Sử dụng tích vecto
Ta có [imath]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}[/imath]
Mà [imath]OH=3OG[/imath](đường thẳng Euler) nên [imath]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}[/imath]
[imath]\Rightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2=\overrightarrow{OH}^2=OH^2[/imath]
[imath]\Rightarrow OA^2+OB^2+OC^2+2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}\overrightarrow{OA}=OH^2[/imath]
[imath]\Rightarrow 3R^2-[(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})^2-OA^2-OB^2]-[(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})^2-OB^2-OC^2]-[(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})^2-OC^2-OA^2]=OH^2[/imath]
[imath]\Rightarrow 3R^2-(AB^2-2R^2)-(BC^2-2R^2)-(CA^2-2R^2)=OH^2[/imath]
[imath]\Rightarrow 9R^2-(a^2+b^2+c^2)=OH^2 \geq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \leq 9R^2[/imath]
+ Cách 2: Bất đẳng thức đại số.
Ta có: [imath]R^2=(\dfrac{abc}{4S})^2=\dfrac{a^2b^2c^2}{16S^2}=\dfrac{a^2b^2c^2}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)}[/imath]
Từ đó ta cần chứng minh [imath]a^2+b^2+c^2 \leq \dfrac{9a^2b^2c^2}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)}=\dfrac{9a^2b^2c^2}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}[/imath]
Đặt [imath](a^2,b^2,c^2)=(x,y,z)[/imath] ta được: [imath]x+y+z \leq \dfrac{9xyz}{2(xy+yz+zx)-(x^2+y^2+z^2)}[/imath]
Nhân chéo và biến đổi biểu thức ta đưa về [imath]x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \geq 0[/imath]
Đây chính là BĐT Schur bậc 3 và chứng minh đã có tại
đây.
+ Cách 3: Bất đẳng thức lượng giác.
Ta có [imath]a=2R\sin A, b=2R\sin B, c=2R\sin C[/imath] nên BĐT tương đương với [imath]\sin^2A+\sin^2 B+\sin^2C \leq \dfrac{9}{4}[/imath]
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]C=\max \lbrace{ A,B,C \rbrace}[/imath]
Khi đó [imath]0 \leq A,B < \dfrac{\pi}{2}[/imath] (1)
Ta có [imath]\sin^2A+\sin^2B=\dfrac{1-\cos 2A}{2}+\dfrac{1-\cos 2B}{2}=1-\dfrac{1}{2}(\cos 2A+\cos 2B)[/imath]
[imath]=1-\cos (A-B)\cos (A+B)[/imath]
Từ (1) ta có [imath]0 \leq \cos (A-B) \leq 1[/imath] nên [imath]\sin ^2A+\sin^2B \leq 1-\cos (A+B)=1-\cos (\pi-C)=1+\cos C[/imath]
[imath]\Rightarrow \sin^2 A+\sin^2B+\sin^2C \leq \sin^2C+1+\cos C=2+\cos C-\cos ^2C=\dfrac{9}{4}-(\cos C-\dfrac{1}{2})^2 \leq \dfrac{9}{4}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Trọn bộ kiến thức học tốt TẤT CẢ các môn học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
