Toán 9 [Chuyên đề HSG] Bất đẳng thức Schur và kỹ thuật đổi biến $p,q,r$ cho bất đẳng thức đối xứng $3$ biến

7 1 2 5

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,715
11,257
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài viết của mình trước đây về bất đẳng thức, các bạn có thể tham khảo:
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu và tử là bậc không quá 2

Xin chào các bạn. Hôm nay mình sẽ giới thiệu cho các bạn một phương pháp khá hữu ích trong việc xử lý bất đẳng thức cũng như dạng bài tập tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Phương pháp này mình đánh giá là không phải quá đẹp, cách làm đôi khi cần biến đổi nhiều, nhưng mà nó sẽ hữu dụng trong các bài toán [imath]3[/imath] biến đối xứng.

I. Giới thiệu bất đẳng thức Schur
Với [imath]a,b,c[/imath] là các số thực không âm và [imath]k[/imath] là số thực bất kỳ thì ta luôn có:
[imath]a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b) \geq 0[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a=b=c[/imath] hoặc [imath]a=b,c=0[/imath] và các hoán vị.

Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]a \geq b \geq c[/imath].
Khi đó biến đổi bất đẳng thức ta được: [imath]c^k(c-a)(c-b)+(a-b)[a^k(a-c)-b^k(b-c)] \geq 0[/imath].
Vì [imath](c-a)(c-b) \geq 0, a \geq b \Rightarrow \begin{cases} a^k \geq b^k \\ a-c \geq b-c \geq 0 \end{cases}[/imath] nên bất đẳng thức được chứng minh.

Các trường hợp thường dùng của bất đẳng thức Schur là khi [imath]k=1[/imath] và [imath]k=2[/imath].
[imath]k=1: a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)[/imath]
[imath]k=2: a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)[/imath]

II. Phương pháp đổi biến [imath]p,q,r[/imath]
Với [imath]3[/imath] biến [imath]a,b,c[/imath] thì ta có cách đặt biến mới như sau:
[imath]\begin{cases} p=x+y+z \\ q=xy+yz+zx \\ r=xyz \end{cases}[/imath]
Các đẳng thức đáng nhớ liên quan tới các biểu thức [imath]3[/imath] biến đối xứng:
+ [imath](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=pq-r[/imath]
+ [imath]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=p^2-2q[/imath]
+ [imath]a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r[/imath]
+ [imath]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr[/imath]
+ [imath]ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq-3r[/imath]
Khi đó, nếu [imath]a,b,c \geq 0[/imath] thì ta sẽ có một số bất đẳng thức quan trọng như sau:
+ [imath]p^2 \geq 3q[/imath]
+ [imath]q^2 \geq 3pr[/imath]
+ [imath]p^3 \geq 27r[/imath]
+ [imath]pq \geq 9r[/imath]
Nếu ta kết hợp thêm bất đẳng thức Schur bậc [imath]3[/imath] và bậc [imath]4[/imath] thì ta có bất đẳng thức sau:
+ Schur bậc [imath]3[/imath]: [imath]p^3-4pq+9r \geq 0 \Leftrightarrow r \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9}[/imath]
Bởi vì không phải lúc nào ta cũng có [imath]p^2 \leq 4q[/imath] nên ta sẽ viết dưới dạng [imath]r \geq \max \lbrace{ 0,\dfrac{p(4q-p^2)}{9} \rbrace}[/imath]
+ Schur bậc [imath]4[/imath]: [imath]p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0 \Leftrightarrow r \geq \dfrac{(p^2-q)(4q-p^2)}{6p}[/imath]
Tương tự trên ta cũng viết bất đẳng thức thành [imath]r \geq \max \lbrace{ 0,\dfrac{(p^2-q)(4q-p^2)}{6p} \rbrace }[/imath]

III. Kỹ thuật kết hợp bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến [imath]p,q,r[/imath]
Ở đây mình sẽ chia sẻ kỹ thuật sử dụng Schur bậc [imath]3[/imath] nhé, bởi vì mình thấy Schur bậc [imath]4[/imath] sử dụng khá là ít.
Ta thấy trong các bất đẳng thức cơ bản thì ta chỉ đánh giá được [imath]r \leq ...[/imath], cho nên khi ta muốn đánh giá [imath]r \geq ...[/imath] thì bất đẳng thức Schur khá hiệu quả.
Muốn áp dụng bất đẳng thức Schur bậc [imath]3[/imath] ta phải xét 2 trường hợp:
+ [imath]p^2 \geq 4q[/imath]. Khi đó gần như chúng ta phải đánh giá [imath]r \geq 0[/imath] nếu đề cho [imath]a,b,c \geq 0[/imath], hoặc đánh giá biểu thức lớn hơn GTNN hoặc nhỏ hơn GTLN.
+ [imath]p^2 \leq 4q[/imath]. Khi đó ta sẽ áp dụng BĐT Schur và biến đổi.
Trong quá trình biến đổi sau BĐT Schur các bạn nên chú ý các bất đẳng thức cơ bản nhé.

IV. Ví dụ
Bài 1. Cho [imath]3[/imath] số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]abc=1[/imath]. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của [imath]A=\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}[/imath]

Lời giải: Ta thấy [imath]A[/imath] là biểu thức đối xứng [imath]3[/imath] biến [imath]a,b,c[/imath] nên ý tưởng [imath]p,q,r[/imath] khá rõ ràng.
Đặt [imath]\begin{cases} p=a+b+c \\ q=ab+bc+ca \end{cases}[/imath]
Một chút quy đồng và khai triển ta được: [imath]A=\dfrac{(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+12}{abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8}=\dfrac{q+4p+12}{2q+4p+9}[/imath]
Dự đoán rằng [imath]\max A=1[/imath] đạt được khi [imath]a=b=c=1[/imath] nên ta sẽ chứng minh [imath]\dfrac{q+4p+12}{2q+4p+9} \leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow q+4p+12 \leq 2q+4p+9 \Leftrightarrow q \geq 3[/imath]
Mà ta lại có [imath]q=ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3[/imath] nên ta có đpcm.
Vậy [imath]\max A=1 \Leftrightarrow a=b=c=1[/imath].

Bài 2. Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương. Chứng mỉnh rằng:
[math](a^3+b^3+c^3)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+6(ab+bc+ca) \geq 9(a^2+b^2+c^2)[/math]
Lời giải: Đặt [imath]\begin{cases} p=a+b+c \\ q=ab+bc+ca \\ r=abc \end{cases}[/imath], ta biến đổi bất đẳng thức trên thành:
[math](p^3-3pq+3r)\cdot \dfrac{q}{r}+6q \geq 9(p^2-2q)[/math][math]\Leftrightarrow \dfrac{q}{r}(p^3-3pq) \geq 9(p^2-3q)[/math][math]\Leftrightarrow (p^2-3q)(\dfrac{pq}{r}-9) \geq 0[/math][math]\Leftrightarrow \dfrac{1}{r}(p^2-3q)(pq-9r) \geq 0(\text{đúng do } p^2 \geq 3q,pq \geq 9r)[/math]
Bài 3. Cho [imath]a,b,c[/imath] là các số thực dương thỏa mãn [imath]abc=1[/imath]. Chứng minh [math]2(a^2+b^2+c^2)+12 \geq 3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)[/math]
Lời giải: Đặt [imath]p=a+b+c,q=ab+bc+ca[/imath] thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
[imath]2(p^2-2q)+12 \geq 3p+3q \Leftrightarrow 7q \leq 2p^2-3p+12[/imath]
Áp dụng BĐT Schur bậc [imath]3[/imath] ta có: [imath]p^3-4pq+9r \geq 0 \Leftrightarrow p^3-4pq+9 \geq 0 \Leftrightarrow q \leq \dfrac{p^3+9}{4p}[/imath]
Từ đó ta cần chứng minh [imath]7 \cdot \dfrac{p^3+9}{4p} \leq 2p^2-3p+12[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 7(p^3+9) \leq 4p(2p^2-3p+12) \Leftrightarrow p^3-12p^2+48p-63 \geq 0 \Leftrightarrow (p-3)(p^2-9p+21) \geq 0[/imath]
Bất đẳng thức trên đúng do [imath]p=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/imath] và [imath]p^2-9p+21=(p-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0[/imath].
Vậy ta có đpcm.

Bài 4. Cho các số thực không âm [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]ab+bc+ca=3[/imath]. Chứng minh rằng [math]a^3+b^3+c^3+7abc \geq 10[/math].

Lời giải: Đặt [imath]p=a+b+c,q=ab+bc+ca=3,r=abc[/imath] thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành [imath]p^3-3pq+3r+7r \geq 10[/imath].
[imath]\Leftrightarrow p^3-9p+10r \geq 10[/imath].
Áp dụng BĐT Schur bậc [imath]3[/imath] ta có [imath]r \geq \max \lbrace{ 0,\dfrac{p(4q-p^2)}{9} \rbrace}=\max \lbrace{ 0,\dfrac{p(12-p^2)}{9} \rbrace}[/imath]
Xét các trường hợp:
+ [imath]p^2 \geq 4q=12 \Leftrightarrow p \geq 2\sqrt{3}[/imath].
Khi đó [imath]p^3-9p+10r-10 \geq p^3-9p-10=p(p^2-12)+3p-10 \geq 3p-10 \geq 6\sqrt{3}-10>0[/imath]
[imath]\Rightarrow p^3-9p+10r >10[/imath]
+ [imath]p \leq 2\sqrt{3}[/imath]
Khi đó [imath]r \geq \dfrac{p(12-p^2)}{9}[/imath]
[imath]\Rightarrow p^3-9p+10r-10 \geq p^3-9p+\dfrac{10p(12-p^2)}{9}=\dfrac{1}{9}(p-3)(-p^2-3p+30)[/imath]
Vì [imath]-p^2-3p+30=(12-p^2)+28-3p \geq 28-6\sqrt{3} > 0[/imath] nên [imath]p^3-9p+10r -10 \geq 0 \Rightarrow p^3-9p+10r \geq 10[/imath]
Bất đẳng thức được chứng minh.

V. Bài tập luyện tập
1. Cho các số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]abc=1[/imath]. Chứng minh rằng [imath]1+\dfrac{3}{a+b+c} \geq \dfrac{6}{ab+bc+ca}[/imath]
2. Cho các số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]a^2+b^2+c^2=3[/imath]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]A=\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c}[/imath]
3. Cho [imath]\begin{cases} x,y,z \geq 0 \\ xy+yz+zx=3 \end{cases}[/imath]. Chứng minh rằng [imath]x^2+y^2+z^2+3xyz \geq 6[/imath].
4. Cho các số thực không âm [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]ab+bc+ca+6abc=9[/imath]. Chứng minh rằng [imath]a+b+c+3abc \geq 6[/imath].

Lời giải chi tiết sẽ được đăng ở dưới topic này trong thời gian sớm nhất nhé! Bạn nào có lời giải/cách làm thì có thể đăng để mọi người thảo luận nhé.
 
Last edited:
Top Bottom