Toán 9 Chứng minh

[14101311]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì
[imath]\dfrac{1}a+\dfrac{1}b+\dfrac{1}c\ge (1+\sqrt2+\sqrt3)\left(\dfrac{1}{a+\sqrt2b+\sqrt3c}+\dfrac{1}{b+\sqrt2c+\sqrt3a}+\dfrac{1}{c+\sqrt2a+\sqrt3b}\right)[/imath]

giúp mình bài này với mình cảm ơn ạ

 

[7 1 2 5]

Áp dụng định lý Cauchy - Schwartz ta có:
[imath]\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{2}b}+\dfrac{3}{\sqrt{3}c} \geq \dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{\sqrt{2}}{b}+\dfrac{\sqrt{3}}{c} \geq \dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}[/imath]
Tương tự thì [imath]\dfrac{1}{b}+\dfrac{\sqrt{2}}{c}+\dfrac{\sqrt{3}}{a} \geq \dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{b+\sqrt{2}c+\sqrt{3}a}[/imath]
[imath]\dfrac{1}{c}+\dfrac{\sqrt{2}}{a}+\dfrac{\sqrt{3}}{b} \geq \dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{c+\sqrt{2}a+\sqrt{3}b}[/imath]
Cộng vế theo vế ta được: [imath](1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \geq (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2(\dfrac{1}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}+\dfrac{1}{b+\sqrt{2}c+\sqrt{3}a}+\dfrac{1}{c+\sqrt{2}a+\sqrt{3}b})[/imath]
[imath]\Rightarrow \text{đpcm}[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[kido2006]

BĐT [imath]\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\ \ge \left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}+\dfrac{1}{b+\sqrt{2}c+\sqrt{3}a}+\dfrac{1}{c+\sqrt{2}a+\sqrt{3}b}\right)[/imath]
Thật vậy [imath]\dfrac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{a+\sqrt{2}b+\sqrt{3}c}\leq \dfrac{1}{a}+\dfrac{\sqrt{2}}{b}+\dfrac{\sqrt{3}}{c}[/imath]
Tương tự rồi cộng vế với vế ta được đpcm

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Tổng hợp kiến thức cơ bản toán 9