Toán 11 Chứng minh....

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi Võ Hà My, 11 Tháng bảy 2019.

Lượt xem: 170

  1. Võ Hà My

    Võ Hà My Học sinh Thành viên

    Bài viết:
    182
    Điểm thành tích:
    36
    Nơi ở:
    Cà Mau
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Trần Văn Thời
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1, CMR:
    a) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c[/tex]
    b) [tex]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1[/tex]
     
    Hoàng Vũ Nghịdangtiendung1201 thích bài này.
  2. Hoàng Vũ Nghị

    Hoàng Vũ Nghị Mod Toán | Yêu lao động Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    2,133
    Điểm thành tích:
    391
    Nơi ở:
    Vĩnh Phúc

    [tex]a^2+1\geq 2a[/tex]
    CMTT suy ra [tex]a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)[/tex]
    Cần chứng minh
    [tex]a+b+c\geq 3[/tex] (đúng do [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/tex]
    đpcm
    Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
    b,Ta có
    Áp dụng định lí muirhead ta có
    [tex]a+b\geq \sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{c}}\\\Rightarrow a+b+1\geq \frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c}}\\\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}[/tex]
    Chứng minh tương tự rồi cộng lại là ra đpcm
    Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
     
  3. iceghost

    iceghost Phó nhóm Toán Cu li diễn đàn TV BQT xuất sắc nhất 2016

    Bài viết:
    4,178
    Điểm thành tích:
    811
    Nơi ở:
    TP Hồ Chí Minh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Tân Thông Hội

    1/ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
    $$a^2 + 1 \geqslant 2a$$
    $$b^2 + 1 \geqslant 2b$$
    $$c^2 + 1 \geqslant 2c$$
    $$a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc} = 3$$
    Cộng vế theo vế ta suy ra $a^2+b^2+c^2 \geqslant a+b+c$

    2/ Để dễ nhìn thì đặt $a = x^3$, $b = y^3$, $c = z^3$. Do $abc = 1 \iff xyz = 1$
    Ta đi chứng minh $\dfrac1{x^3 + y^3 + 1} + \dfrac1{y^3 + z^3 + 1} + \dfrac1{z^3 + x^3 + 1} \leqslant 1$
    Thật vậy: Theo bất đẳng thức Cô-si thì $$x^3 + y^3 + y^3 \geqslant 3xy^2$$ $$x^3 + x^3 + y^3 \geqslant 3x^2y$$
    Cộng vế theo vế ta suy ra $x^3 + y^3 \geqslant xy^2 + x^2y$
    Do $xyz = 1$ nên $x^3 + y^3 + 1 \geqslant xy^2 + x^2y + xyz = xy(x+y+z)$
    Suy ra $$\dfrac{1}{x^3 + y^3 + 1} \leqslant \dfrac1{xy(x+y+z)} = \dfrac{z}{xyz(x+y+z)} = \dfrac{z}{x+y+z}$$
    Tương tự thì $$\dfrac{1}{y^3 + z^3 + 1} \leqslant \dfrac{x}{x+y+z}$$
    $$\dfrac{1}{z^3 + x^3 + 1} \leqslant \dfrac{y}{x+y+z}$$
    Cộng vế theo vế ta có đpcm
     
  4. mỳ gói

    mỳ gói Học sinh tiêu biểu Thành viên

    Bài viết:
    3,469
    Điểm thành tích:
    694
    Nơi ở:
    Tuyên Quang
    Trường học/Cơ quan:
    THPT NTT

    a) $a^2+b^2+c^2+3a^2\geq6a$
    Tương tự cộng lại
    b) dùng Chebysev dễ suy ra đfcm tương đương
    $ab+bc+ca\geq a+b+c$
    Ta có$ ab+bc \geq 2b$
    Tương tự cộng lại suy ra
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->