Toán 11 Chứng minh....

[Võ Hà My]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1, CMR:
a) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c[/tex]
b) [tex]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1[/tex]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

[tex]a^2+1\geq 2a[/tex]
CMTT suy ra [tex]a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)[/tex]
Cần chứng minh
[tex]a+b+c\geq 3[/tex] (đúng do [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/tex]
đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
b,Ta có
Áp dụng định lí muirhead ta có
[tex]a+b\geq \sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{c}}\\\Rightarrow a+b+1\geq \frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c}}\\\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng lại là ra đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

 

[iceghost]

1/ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
$$a^2 + 1 \geqslant 2a$$
$$b^2 + 1 \geqslant 2b$$
$$c^2 + 1 \geqslant 2c$$
$$a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc} = 3$$
Cộng vế theo vế ta suy ra $a^2+b^2+c^2 \geqslant a+b+c$

2/ Để dễ nhìn thì đặt $a = x^3$, $b = y^3$, $c = z^3$. Do $abc = 1 \iff xyz = 1$
Ta đi chứng minh $\dfrac1{x^3 + y^3 + 1} + \dfrac1{y^3 + z^3 + 1} + \dfrac1{z^3 + x^3 + 1} \leqslant 1$
Thật vậy: Theo bất đẳng thức Cô-si thì $$x^3 + y^3 + y^3 \geqslant 3xy^2$$ $$x^3 + x^3 + y^3 \geqslant 3x^2y$$
Cộng vế theo vế ta suy ra $x^3 + y^3 \geqslant xy^2 + x^2y$
Do $xyz = 1$ nên $x^3 + y^3 + 1 \geqslant xy^2 + x^2y + xyz = xy(x+y+z)$
Suy ra $$\dfrac{1}{x^3 + y^3 + 1} \leqslant \dfrac1{xy(x+y+z)} = \dfrac{z}{xyz(x+y+z)} = \dfrac{z}{x+y+z}$$
Tương tự thì $$\dfrac{1}{y^3 + z^3 + 1} \leqslant \dfrac{x}{x+y+z}$$
$$\dfrac{1}{z^3 + x^3 + 1} \leqslant \dfrac{y}{x+y+z}$$
Cộng vế theo vế ta có đpcm

 

[mỳ gói]

cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1, CMR:
a) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c[/tex]
b) [tex]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1[/tex]

a) $a^2+b^2+c^2+3a^2\geq6a$
Tương tự cộng lại
b) dùng Chebysev dễ suy ra đfcm tương đương
$ab+bc+ca\geq a+b+c$
Ta có$ ab+bc \geq 2b$
Tương tự cộng lại suy ra