Toán 11 Chứng minh....

Võ Hà My

Học sinh
Thành viên
29 Tháng bảy 2018
184
137
36
21
Cà Mau
THPT Trần Văn Thời

Hoàng Vũ Nghị

Cựu Mod Toán | Yêu lao động
Thành viên
3 Tháng tám 2016
2,297
2,640
486
20
Vĩnh Phúc
[tex]a^2+1\geq 2a[/tex]
CMTT suy ra [tex]a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)[/tex]
Cần chứng minh
[tex]a+b+c\geq 3[/tex] (đúng do [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/tex]
đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
b,Ta có
Áp dụng định lí muirhead ta có
[tex]a+b\geq \sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{c}}\\\Rightarrow a+b+1\geq \frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c}}\\\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi cộng lại là ra đpcm
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
1/ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
$$a^2 + 1 \geqslant 2a$$
$$b^2 + 1 \geqslant 2b$$
$$c^2 + 1 \geqslant 2c$$
$$a+b+c \geqslant 3\sqrt[3]{abc} = 3$$
Cộng vế theo vế ta suy ra $a^2+b^2+c^2 \geqslant a+b+c$

2/ Để dễ nhìn thì đặt $a = x^3$, $b = y^3$, $c = z^3$. Do $abc = 1 \iff xyz = 1$
Ta đi chứng minh $\dfrac1{x^3 + y^3 + 1} + \dfrac1{y^3 + z^3 + 1} + \dfrac1{z^3 + x^3 + 1} \leqslant 1$
Thật vậy: Theo bất đẳng thức Cô-si thì $$x^3 + y^3 + y^3 \geqslant 3xy^2$$ $$x^3 + x^3 + y^3 \geqslant 3x^2y$$
Cộng vế theo vế ta suy ra $x^3 + y^3 \geqslant xy^2 + x^2y$
Do $xyz = 1$ nên $x^3 + y^3 + 1 \geqslant xy^2 + x^2y + xyz = xy(x+y+z)$
Suy ra $$\dfrac{1}{x^3 + y^3 + 1} \leqslant \dfrac1{xy(x+y+z)} = \dfrac{z}{xyz(x+y+z)} = \dfrac{z}{x+y+z}$$
Tương tự thì $$\dfrac{1}{y^3 + z^3 + 1} \leqslant \dfrac{x}{x+y+z}$$
$$\dfrac{1}{z^3 + x^3 + 1} \leqslant \dfrac{y}{x+y+z}$$
Cộng vế theo vế ta có đpcm
 

mỳ gói

Học sinh tiêu biểu
Thành viên
28 Tháng mười 2017
3,580
6,003
694
Tuyên Quang
THPT NTT
cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1, CMR:
a) [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c[/tex]
b) [tex]\frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1[/tex]
a) $a^2+b^2+c^2+3a^2\geq6a$
Tương tự cộng lại
b) dùng Chebysev dễ suy ra đfcm tương đương
$ab+bc+ca\geq a+b+c$
Ta có$ ab+bc \geq 2b$
Tương tự cộng lại suy ra
 
Top Bottom