Toán 8 Chứng minh [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}[/TEX]

Cho a, b > 0 và a+b=4
a) cm: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}[/TEX]
b) Tìm GTNN của : [TEX]A=a^{2}+b^{2}[/TEX]

 

a) Ta có: [tex]a+b\geq 2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow (a+b)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]
b) Theo BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex]2A=(1^2+1^2)(a^2+b^2)\geq (a+b)^2=4^2=16\Rightarrow A\geq 8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=2[/TEX]

 

chị ơi tại sao lại là vậy ạ??

 

Vì [TEX](a+b)^{2}\geqslant 4ab[/TEX]

 

a, [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}
\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}
\frac{(a+b)^{2}-4ab}{ab(a+b))}[/tex]
[tex]\frac{a^{2}+b^{2}+2ab-4ab}{ab(a+b)}
\frac{(a-b)^{2}}{ab(a+b)}\geq 0[/tex]
b,vì a+b=4
[tex]4\geq 2\sqrt{ab}
2\geq \sqrt{ab}
4\geq ab
-8\leq -2ab[/tex]
mà [tex](a+b)^{2}=16
a^{2}+b^{2}+2ab=16
a^{2}+b^{2}=16-2ab\geq 16-8=8[/tex]

 

Đấy là BĐT Cô-si nhé em.
Em có thể tham khảo thêm tài liệu về BĐT Cô-si ở trên mạng rất nhiều ^^

 

em xin lỗi!! em chưa học phần đó nên không biết ạ!!

 

ta có : [TEX]a+b\geqslant 2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geqslant 4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}\geqslant 4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geqslant 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geqslant 0[/TEX] ( luôn đúng)