Toán 8 Chứng minh [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}[/TEX]

[Nguyễn Quang Thắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b > 0 và a+b=4
a) cm: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}[/TEX]
b) Tìm GTNN của : [TEX]A=a^{2}+b^{2}[/TEX]

 

[Ann Lee]

Cho a, b > 0 và a+b=4
a) cm: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}[/TEX]
b) Tìm GTNN của : [TEX]A=a^{2}+b^{2}[/TEX]

a) Ta có: [tex]a+b\geq 2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow (a+b)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]
b) Theo BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex]2A=(1^2+1^2)(a^2+b^2)\geq (a+b)^2=4^2=16\Rightarrow A\geq 8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=2[/TEX]

 

[Vũ Lan Anh]

a) Ta có: [tex]a+b\geq 2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}\Rightarrow (a+b)\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]
b) Theo BĐT Bunyakovsky ta có:
[tex]2A=(1^2+1^2)(a^2+b^2)\geq (a+b)^2=4^2=16\Rightarrow A\geq 8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=2[/TEX]

chị ơi tại sao lại là vậy ạ??

 

[Nguyễn Quang Thắng]

chị ơi tại sao lại là View attachment 72250 vậy ạ??

Vì [TEX](a+b)^{2}\geqslant 4ab[/TEX]

 

[rsewt]

a, [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b} \frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b} \frac{(a+b)^{2}-4ab}{ab(a+b))}[/tex]
[tex]\frac{a^{2}+b^{2}+2ab-4ab}{ab(a+b)} \frac{(a-b)^{2}}{ab(a+b)}\geq 0[/tex]
b,vì a+b=4
[tex]4\geq 2\sqrt{ab} 2\geq \sqrt{ab} 4\geq ab -8\leq -2ab[/tex]
mà [tex](a+b)^{2}=16 a^{2}+b^{2}+2ab=16 a^{2}+b^{2}=16-2ab\geq 16-8=8[/tex]

 

[Ann Lee]

chị ơi tại sao lại là View attachment 72250 vậy ạ??

Đấy là BĐT Cô-si nhé em.
Em có thể tham khảo thêm tài liệu về BĐT Cô-si ở trên mạng rất nhiều ^^

 

[Vũ Lan Anh]

Đấy là BĐT Cô-si nhé em.
Em có thể tham khảo thêm tài liệu về BĐT Cô-si ở trên mạng rất nhiều ^^

em xin lỗi!! em chưa học phần đó nên không biết ạ!!

 

[Nguyễn Quang Thắng]

em xin lỗi!! em chưa học phần đó nên không biết ạ!!

ta có : [TEX]a+b\geqslant 2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geqslant 4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2}\geqslant 4ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geqslant 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geqslant 0[/TEX] ( luôn đúng)