Toán 9 Chứng minh song song, hình bình hành, bằng nhau, thẳng hàng trong đường tròn

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]\Delta ABC[/tex] nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB. O là trung điểm AB; M là điểm chính giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC.
a. Chứng minh: [tex]OM[/tex] song song [tex]BC[/tex]
b. Từ C kẻ tia song song và cùng chiều với tia BM, tia này cắt đường thẳng OM tại D. Chứng minh rằng: [tex]MBCD[/tex] là hình bình hành
c. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Chứng minh rằng: [tex]KP\perp AB[/tex]
d. Chứng minh: [tex]AP.AB=AC.AH[/tex]
e. Gọi [tex]I[/tex] là giao điểm KB với [tex](O)[/tex]. Q là giao điểm của KP với [tex]AI[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]A,Q,I[/tex] thẳng hàng

 

[Nguyễn Linh_2006]

Cho [tex]\Delta ABC[/tex] nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB. O là trung điểm AB; M là điểm chính giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC.
a. Chứng minh: [tex]OM[/tex] song song [tex]BC[/tex]
b. Từ C kẻ tia song song và cùng chiều với tia BM, tia này cắt đường thẳng OM tại D. Chứng minh rằng: [tex]MBCD[/tex] là hình bình hành
c. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Chứng minh rằng: [tex]KP\perp AB[/tex]
d. Chứng minh: [tex]AP.AB=AC.AH[/tex]
e. Gọi [tex]I[/tex] là giao điểm KB với [tex](O)[/tex]. Q là giao điểm của KP với [tex]AI[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]A,Q,I[/tex] thẳng hàng

a. Chứng minh: [tex]OM[/tex] song song [tex]BC[/tex]
+) [tex]M[/tex] là điểm chính giữa cung [tex]AC[/tex] [tex]\rightarrow OM\perp AC[/tex]
+) [tex]\widehat{ACB}=90^{\circ}[/tex] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) [tex]\rightarrow AC\perp BC[/tex]
Do đó: [tex]OM[/tex] song song [tex]BC[/tex]

b. Từ C kẻ tia song song và cùng chiều với tia BM, tia này cắt đường thẳng OM tại D. Chứng minh rằng: [tex]MBCD[/tex] là hình bình hành
+) [tex]OM[/tex] song song [tex]BC[/tex] [tex]\rightarrow MD//BC[/tex]
+) Đề bài cho: [tex]CD//BM[/tex]
Do đó: [tex]MBCD[/tex] là hình bình hành

c. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Chứng minh rằng: [tex]KP\perp AB[/tex]
+) [tex]M[/tex] là điểm chính giữa cung [tex]AC[/tex]; [tex]OM[/tex] cắt [tex]AC[/tex] tại H [tex]\rightarrow AC[/tex] là đường trung trực của [tex]OD[/tex]
[tex]\rightarrow DA=DC[/tex]

+) [tex]MBCD[/tex] là hình bình hành [tex]\rightarrow \widehat{MDK}=\widehat{MBC}[/tex]
mà [tex]\widehat{MBC}=\widehat{MAC}[/tex]
Nên: [tex]\widehat{HDK}=\widehat{KAH}\rightarrow KHAD[/tex] nội tiếp
[tex]\rightarrow \widehat{HKA}=\widehat{HDA}=\widehat{HAC}=\widehat{OMB}[/tex] (1)

+) [tex]OM=OA\rightarrow \widehat{OMA}=\widehat{OAM}[/tex] (2)
Lại có : [tex]\widehat{OMB}+\widehat{OMA}=90^{\circ}[/tex] (3)
(1) (2) (3) [tex]\rightarrow \widehat{PKA}+\widehat{KAP}=90^{\circ}[/tex]
[tex]\rightarrow \widehat{KPA}=90^{\circ}[/tex]

(@Tungtom Cảm ơn anh đã giúp câu c ^^)

d. Chứng minh: [tex]AP.AB=AC.AH[/tex]

+) CM: [tex]PHCB[/tex] nội tiếp [tex]\rightarrow[/tex] Dễ dàng chứng minh [tex]AP.AB=AC.AH[/tex] (2 tam giác đồng dạng)

e. Gọi [tex]I[/tex] là giao điểm KB với [tex](O)[/tex]. Q là giao điểm của KP với [tex]AI[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]A,Q,I[/tex] thẳng hàng

+) [tex]\widehat{AIB}=90^{\circ}[/tex] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) [tex]\rightarrow AI\perp KB[/tex] (4)
+) [tex]\Delta AKB: KP\perp AB;BM\perp AK;KP\frown BM[/tex] tại [tex]Q[/tex]
[tex]\rightarrow Q[/tex] là trực tâm [tex]\Delta AKB[/tex]
[tex]\rightarrow AQ\perp KB[/tex] (5)
(4) (5) [tex]\rightarrow A,Q,I[/tex] thẳng hàng