chứng minh rằng

[duyminhnvc1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: [TEX]\forall[/TEX]a,b,c cmr:
[TEX]\frac{a^3}{a^2 + ab +b^2} +\frac{b^3}{b^2 +bc +c^2 }+\frac{c^3}{c^2 +ac+ a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX]
bài: a b c >0 cmr:
[TEX]\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}[/TEX]

Bài 3:
a,b,c>0 cmr:
[TEX]\frac{a}{a+b} +\frac{b}{b+c} +\frac{c}{c+a} < 2[/TEX]

 

[khongphaibang]

Bài 1 :
$S = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}$

Xét P=$\frac{{{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}$

Ta có S - P = a - b + b - c + c - a = 0
\Rightarrow S = P

Ta xét :$X = \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}$=$\frac{{{t^2} - t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$ với t=\frac{a}{b}
.............=f(t)

Xét f(t) có f'(t) cùng dấu ${{t^2} - 1}$
\RightarrowCực tiểu tại t=1 hay $X \ge \frac{1}{3}$
\Rightarrow$S + P = 2S \ge \frac{1}{3}\left( {a + b} \right) + \frac{1}{3}\left( {b + c} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + c} \right)$
\Rightarrow$S \ge \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)$

 

[khongphaibang]

Bài 2

Đặt a+b=x(x>0);b+c=y(y>0);c+a=z(z>0)

Áp dụng Bdt phụ $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 9$
Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrowa=b=c(bạn tự CM nha)

Pt\Leftrightarrow$2\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) \ge 9$

\Leftrightarrow$\left( {\frac{{a + b + c}}{{a + b}}} \right) + \left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{{a + b + c}}{{c + a}}} \right) \ge 4,5$
\Leftrightarrow$\left( {\frac{a}{{c + b}}} \right) + \left( {\frac{b}{{a + c}}} \right) + \left( {\frac{c}{{b + a}}} \right) \ge 4,5 - 3 = \frac{3}{2}$(ĐPCM)

 

[conga222222]

$\eqalign{
& \frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\;\left( {\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} \leftrightarrow bc > 0 \to dung} \right) \cr
& \frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}} \cr
& \frac{c}{{c + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c}} \cr
& \to \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{c + b}}{{a + b + c}} = 2 \cr} $

 

[harrypham]

Bài 1: [TEX]\forall[/TEX]a,b,c cmr:
[TEX]\frac{a^3}{a^2 + ab +b^2} +\frac{b^3}{b^2 +bc +c^2 }+\frac{c^3}{c^2 +ac+ a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

Cái này cô si ngược dấu là ra thôi.
Ta có [TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= a- \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \ge a- \frac{a+b}{3}= \frac{2a-b}{3}[/TEX].
Cộng lại ta có đpcm.

 

[braga]

Cái này cô si ngược dấu là ra thôi.
Ta có [TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= a- \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \ge a- \frac{a+b}{3}= \frac{2a-b}{3}[/TEX].
Cộng lại ta có đpcm.

$\fbox{Cách 2}.$ Vế trái của bất đẳng thức có thể viết lại thành:
$$\frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2)}+\frac{b^4}{b(b^2+bc+c^2)}+\frac{c^4}{c(c^2+ca+a^2)}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$ \ \ \ \ \ VT\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a(a^2+ab+b^2)+b(b^2+bc+c^2)+c(c^2+ca+a^2)} \\ \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$
Ta cần chứng minh:
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geq \frac{a+b+c}{3} \\ \iff 3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2$$
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c$