Toán 11 Chứng minh rằng phương trình sau đây luôn có ít nhất 2 nghiệm

[hamhochoi531]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình [imath]\dfrac{a}{x-\alpha}+\dfrac{b}{x-\beta }+\dfrac{c}{x-\gamma}=0[/imath]. Chứng minh phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với [imath]a,b,c>0[/imath] và [imath]\alpha < \beta < \gamma[/imath]

 

[Alice_www]

Chứng minh rằng phương trình sau đây luôn có ít nhất 2 nghiệm với a,b,c là số dương và alpha<beta<gamma(ko biết ghi kí hiệu góc nên ghi tên nó).
Theo cách hàm số liên tục hay cách khác cũng được.Giải chi tiết giùm em.

south140105
[imath]f(x)=\dfrac{a}{x-\alpha}+\dfrac{b}{x-\beta}+\dfrac{c}{x-\gamma}[/imath]
[imath]f'(x)=\dfrac{-a}{(x-\alpha)^2}-\dfrac{b}{(x-\beta)^2}-\dfrac{c}{(x-\gamma)^2}<0\forall x\in \mathbb{R}\backslash\{\alpha;\beta;\gamma\}[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] nghịch biến trên các khoảng xác định

Vậy [imath]f(x)=0[/imath] luôn có 2 nghiệm
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em tham khảo thêm tại Đạo hàm của hàm số

 

[hamhochoi531]

[imath]f(x)=\dfrac{a}{x-\alpha}+\dfrac{b}{x-\beta}+\dfrac{c}{x-\gamma}[/imath]
[imath]f'(x)=\dfrac{-a}{(x-\alpha)^2}-\dfrac{b}{(x-\beta)^2}-\dfrac{c}{(x-\gamma)^2}<0\forall x\in \mathbb{R}\backslash\{\alpha;\beta;\gamma\}[/imath]
[imath]\Rightarrow[/imath] nghịch biến trên các khoảng xác định
View attachment 206274
Vậy [imath]f(x)=0[/imath] luôn có 2 nghiệm
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em tham khảo thêm tại Đạo hàm của hàm số

Cáp Ngọc Bảo PhươngCó cách giải theo hàm số liên tục ko ạ,chưa học tới đạo hàm.

 

[Alice_www]

[imath]\lim \limits_{x\to \alpha^+} f(x)=+\infty[/imath]
[imath]\Rightarrow \exists m\in (\alpha,\alpha+\delta) : f(m)>0\:\: (\delta>0[/imath], đủ nhỏ)
[imath]\lim \limits_{x\to \beta^-} f(x)=-\infty[/imath]
[imath]\Rightarrow \exists n\in (\beta-\epsilon; \beta) f(n)<0\:\: (\epsilon>0[/imath], đủ nhỏ )
Suy ra [imath]f(m).f(n)<0 \Rightarrow \exists u\in (m,n): f(u)=0[/imath]
tt ta có nghiệm khoảng [imath](\beta; \gamma)[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé

 

[hamhochoi531]

[imath]\lim \limits_{x\to \alpha^+} f(x)=+\infty[/imath]
[imath]\Rightarrow \exists m\in (\alpha,\alpha+\delta) : f(m)>0\:\: (\delta>0[/imath], đủ nhỏ)
[imath]\lim \limits_{x\to \beta^-} f(x)=-\infty[/imath]
[imath]\Rightarrow \exists n\in (\beta-\epsilon; \beta) f(n)<0\:\: (\epsilon>0[/imath], đủ nhỏ )
Suy ra [imath]f(m).f(n)<0 \Rightarrow \exists u\in (m,n): f(u)=0[/imath]
tt ta có nghiệm khoảng [imath](\beta; \gamma)[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé

Cáp Ngọc Bảo PhươngDạ là em ko hiểu phương pháp cho lắm.
1.sao có thêm 2 góc mới vậy.
2.m,n,f(u) là gì
3.tại sao alpha beta chỉ xét cộng trừ

 

[Alice_www]

Dạ là em ko hiểu phương pháp cho lắm.
1.sao có thêm 2 góc mới vậy.
2.m,n,f(u) là gì
3.tại sao alpha beta chỉ xét cộng trừ

south140105em có biết cái này không nhỉ
Nếu hàm số [imath]y=f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [a,b] và [imath]f(a).f(b)<0[/imath] thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a,b)

 

[hamhochoi531]

em có biết cái này không nhỉ
Nếu hàm số [imath]y=f(x)[/imath] liên tục trên đoạn [a,b] và [imath]f(a).f(b)<0[/imath] thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a,b)

Cáp Ngọc Bảo PhươngDạ em biết cái đó.nhưng 3 câu hỏi trên em hỏi là làm sao để có thể có đc á

 

[hamhochoi531]

[imath]\lim \limits_{x\to \alpha^+} f(x)=+\infty[/imath]
[imath]\Rightarrow \exists m\in (\alpha,\alpha+\delta) : f(m)>0\:\: (\delta>0[/imath], đủ nhỏ)
[imath]\lim \limits_{x\to \beta^-} f(x)=-\infty[/imath]
[imath]\Rightarrow \exists n\in (\beta-\epsilon; \beta) f(n)<0\:\: (\epsilon>0[/imath], đủ nhỏ )
Suy ra [imath]f(m).f(n)<0 \Rightarrow \exists u\in (m,n): f(u)=0[/imath]
tt ta có nghiệm khoảng [imath](\beta; \gamma)[/imath]
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé

Cáp Ngọc Bảo PhươngMong chị trả lời giùm em

 

[7 1 2 5]

Mong chị trả lời giùm em

south140105[imath]m \in (\alpha, \alpha +\delta)[/imath] và [imath]n \in (\beta - \epsilon, \beta)[/imath] thỏa mãn [imath]f(m)>0,f(n)<0[/imath] đó rồi mà bạn nhỉ.
Còn [imath]u \in (m,n)[/imath] thỏa mãn [imath]f(u)=0[/imath].
Mà chúng ta đang hướng đến chứng minh có nghiệm thuộc [imath](\alpha, \beta)[/imath] nên sẽ xét [imath]\alpha ^+[/imath] và [imath]\beta ^-[/imath] thôi nhé.

 

[hamhochoi531]

[imath]m \in (\alpha, \alpha +\delta)[/imath] và [imath]n \in (\beta - \epsilon, \beta)[/imath] thỏa mãn [imath]f(m)>0,f(n)<0[/imath] đó rồi mà bạn nhỉ.
Còn [imath]u \in (m,n)[/imath] thỏa mãn [imath]f(u)=0[/imath].
Mà chúng ta đang hướng đến chứng minh có nghiệm thuộc [imath](\alpha, \beta)[/imath] nên sẽ xét [imath]\alpha ^+[/imath] và [imath]\beta ^-[/imath] thôi nhé.

Mộc NhãnE thắc mắc là tại sao thêm 2 góc mới và m,n,u đại diện hoặc đóng vai trò gì

 

[7 1 2 5]

E thắc mắc là tại sao thêm 2 góc mới và m,n,u đại diện hoặc đóng vai trò gì

south140105Cái [imath]\delta[/imath] với [imath]\epsilon[/imath] nó chỉ đóng vai trò giống như là 1 số thực dương rất nhỏ nhé.
Thực ra ở đó không cần thiết gọi 2 ẩn mới đó, mà từ [imath]\lim _{x \to \alpha ^+} f(x)=+\infty, \lim _{x \to \beta ^-} f(x)=-\infty[/imath] thì tồn tại [imath]u \in (\alpha, \beta)[/imath] sao cho [imath]f(u)=0[/imath] thôi nhé.
Còn [imath]m,n,u[/imath] ở đây để cụ thể hóa thôi nhé.
Giống như cách phát biểu với [imath]f(a).f(b)<0[/imath] phương trình [imath]f(x)=0[/imath] có nghiệm giữa [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] thì ta sẽ cụ thể [imath]a<b[/imath] thì [imath]\exists u \in (a,b): f(u)=0[/imath] thôi.

 

[hamhochoi531]

Cái [imath]\delta[/imath] với [imath]\epsilon[/imath] nó chỉ đóng vai trò giống như là 1 số thực dương rất nhỏ nhé.
Thực ra ở đó không cần thiết gọi 2 ẩn mới đó, mà từ [imath]\lim _{x \to \alpha ^+} f(x)=+\infty, \lim _{x \to \beta ^-} f(x)=-\infty[/imath] thì tồn tại [imath]u \in (\alpha, \beta)[/imath] sao cho [imath]f(u)=0[/imath] thôi nhé.
Còn [imath]m,n,u[/imath] ở đây để cụ thể hóa thôi nhé.
Giống như cách phát biểu với [imath]f(a).f(b)<0[/imath] phương trình [imath]f(x)=0[/imath] có nghiệm giữa [imath]a[/imath] và [imath]b[/imath] thì ta sẽ cụ thể [imath]a<b[/imath] thì [imath]\exists u \in (a,b): f(u)=0[/imath] thôi.

Mộc NhãnTức m,n,u là a,b,c à và mình xét giới hạn bó dựa trên alpha,beta