Chứng minh những định lí, tính chất được thừa nhận.

  • Thread starter brandnewworld
  • Ngày gửi
  • Replies 25
  • Views 3,519

B

brandnewworld

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bây giờ tôi xin tổ chức cuộc thi CM những định lí, tính chất đã được công nhận và những định lí này chưa được CM trong SGK (Thừa nhận, không CM).
Lưu ý: Các bạn post bài phải để theo thứ tự định lí của cả topic.
 
B

brandnewworld

CM định lí Py-ta-go.
Tam giác ABC vuông tại A, AB=a, CA=b, BC=c. Cần CM [TEX]a^2+b^2=c^2[/TEX]
Vẽ các hình vuông ABEI, ACEF, BCGH khác phía với nhau. Dựng hình vuông AMNP sao cho hình vuông BCGH nội tiếp hình vuông vừa dựng (C thuộc AM, G thuộc MN, H thuộc PN, B thuộc AB).
Giờ này bận rồi, các bạn CM theo diện tích hình vuông là ra thôi! Chiều CM tiếp!
 
M

minhphuc1995

Cách chứng minh định lí Pytago có sử dụng tam giác đồng dạng:
Dựng đường cao AH của tam giác ABC vuông tại A.
Dễ thấy tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp g.g
Suy ra HB/BA = AB/BC suy ra AB^2 = HB.BC. (nhân chéo)
Làm tương tự ta cũng có : AC^2=HC.BC.
Suy ra AB^2 + AC^2 = (HC + HB).BC = BC^2. (đpcm)
 
B

brandnewworld

Còn ai CM được định lí nào nữa không, post lên cho mọi người cùng xem!
 
L

linh954

BĐT CôSi với 2 số không âm thì các bạn tự chứng minh nhé
Bi giờ minh sẽ CM BĐT Côsi với 3 số không âm bằng 2 cách
C1
TA có [TEX]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)[/TEX] ( Cái này các bạn tự CM)
[TEX]x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2][/TEX]
Ta thấy [TEX](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0[/TEX]
Mà [TEX]x+y+z\geq0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+z^3-3xyz\geq0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+z^3\geq3xyz\[/TEX]Rightarrow ĐPCM
C2 Áp dụng BĐT côsi với 2 sô không âm
([TEX]x^3+y^3)+(z^3+xyz)\geq 2\sqrt{x^3y^3}+2\sqrt{xyz^4}\geq2\sqrt{2\sqrt{x^3y^3}2\sqrt{xyz^4}}=4xyz[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+z^3+xyz\geq4xyz[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^3+y^3+z^3\geq3xyz[/TEX]\RightarrowĐPCM
 
T

thanh0123

[C/m định lí Talet

Giả sử tam giác ABC , đt d//BC cắt AB, AC tại E,F, C/m [TEX]\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}[/TEX]
Nối BF, CE
Ta có [TEX]S_BEF=S_CFE[/TEX] do (BCFE là hình thang )

\Rightarrow [TEX]\frac{S_AEF}{S_BEF}=\frac{S_AEF}{S_EFC}[/TEX]\Leftrightarrow
\Leftrightarrow [TEX]\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}[/TEX]

(do tam giác AEF và BEF có chung chiều cao hạ từ F xuống AB , tam giác AEF và EFC có chung chiều cao hạ từ E xuống AC )
 
M

minhphuc1995

Cách thứ 3 chứng minh bất đẳng thức Cô si ba số không âm bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cô si 4 số( bất đẳng thức này chứng minh rất dễ):
Phần 1 :
Áp dụng bất đẳng thức Cô si 4 số không âm cho các số x, y, z, [ tex]\frac{x+y+z}{3}[\tex], ta có:
 
B

brandnewworld

[C/m định lí Talet

Giả sử tam giác ABC , đt d//BC cắt AB, AC tại E,F, C/m [TEX]\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}[/TEX]
Nối BF, CE
Ta có [TEX]S_BEF=S_CFE[/TEX] do (BCFE là hình thang )

\Rightarrow [TEX]\frac{S_AEF}{S_BEF}=\frac{S_AEF}{S_EFC}[/TEX]\Leftrightarrow
\Leftrightarrow [TEX]\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FC}[/TEX]

(do tam giác AEF và BEF có chung chiều cao hạ từ F xuống AB , tam giác AEF và EFC có chung chiều cao hạ từ E xuống AC )

Bạn xem có post lộn chỗ nào ko nhé, ở chỗ tỉ lệ diện tích vế phải ấy!
 
M

minhphuc1995

[TEX](\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4})^4\geq\frac{xyz(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{\frac{4(x+y+z)}{3}}{4})^4\geq\frac{xyz(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{x+y+z}{3})^4\geq\frac{xyz(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{x+y+z}{3})^3\geqxyz[/TEX] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
 
B

brandnewworld

[TEX](\frac{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}{4})^4\geq\frac{xyz(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{\frac{4(x+y+z)}{3}}{4})^4\geq\frac{xyz(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{x+y+z}{3})^4\geq\frac{xyz(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow(\frac{x+y+z}{3})^3\geqxyz[/TEX] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.

CT của bạn xem lại nhé, phần cuối vế phải là biểu thức gì vậy?
 
M

minhphuc1995

Phần cuối vế phải là biểu thức xyz!!!!!!!!Tại tớ gõ nhầm đấy mà!!!Hì hì!
 
B

brandnewworld

Có dấu căn không, tớ nhớ là có mà, nick chat của cậu là minhphuc1995 luôn phải không, của mình là BrandTheEarth. Add nick vào nhau để tiện trao đổi nhé!
 
M

minhtuangv

Có cách khác để CM định lý Py-ta-go đấy!!! :)>-

Tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=b, BC=c. Cần CM: a^2+b^2=c^2
CM​
Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho CD=CA, trên tia đối CD lấy E sao cho EC=CA
\Rightarrow\{AEB}=\{EAC}=\{BAD}
Mà ta cũng có \{EBA}=\{DBA} \Rightarrow tam giác ABD đồng dạng tam giác EBA(g.g)
\Rightarrow\frac{AB}{EB}=\frac{BD}{BA}
\Rightarrow\frac{a}{b+c}=\frac{c-b}{a}
\Rightarrow a^2=c^2-b^2
\Rightarrow a^2+b^2=c^2(đpcm)
 
L

linh954

Tiếp đến CM BĐT Côsi với 4 số không âm
Áp dụng BĐT Côsi với 2 số không âm
[TEX]\frac{x+y+z+t}{4}=\frac{1}{2}(\frac{x+y}{2}+\frac{z+t}{2})\geq\frac{1}{2}(\sqrt{xy}+\sqrt{zt})\geq \sqrt{\sqrt{xy}\sqrt{zt}}=\sqrt[4]{xyzt}[/TEX]
\RightarrowĐPCM
 
T

thanh0123

bất đẳng thức Cô-si với 4 số không âm trong sách Nâng cao và phát triển tập 2
sao phải post lên làm gì
 
B

brandnewworld

Còn c/m được định lí nào nữa không, mình thí có nhưng chưa post!
 
T

thanh0123

định lí về 3 đường cao của tam giác

Giả sử tam giác ABC có 3 đường cao AD , BE , CF . Cần c/m 3 đường cao này đồng quy

Qua A,B,C kẻ các đt // với các cạnh BC,AC,AB cắt nhau tại M,N,P
từ đó sẽ xuất hiện các hình bình hành
Do đó AD, BE,CF chình là 3 đường trung trực của tam giác MNP -->chúng đồng quy
 
N

nienhenrichaben

Bài này có chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 đấy thôi!!! Không tin thì giở ra mà xem!!
 
B

brandnewworld

Toàn là định lí dễ, có cái nào khó khó không, ví dụ đường thẳng Ơ-le chẳng hạn!
 
Top Bottom