Toán 10 Chứng minh n∣(p1−1)(p2−1)...(pk−1)n \mid (p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

7. Giả sử tất cả các ước nguyên tố của $n^n+1$ là $p_1,p_2,...,p_k$. Chứng minh $n \mid (p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)$
8. Tồn tại hay không $n>1$ sao cho $n \mid 2^n-1$

 

[2712-0-3]

View attachment 213442
. . . . .

_Error404_Bài 8:
Giả sử tồn tại $n\geq 2$ thỏa mãn
Xét p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n.
Gọi $t=ord_p(2)$
Theo định lý Fecma nhỏ, ta có: $2^{p-1}-1\vdots p\Rightarrow p-1\vdots t$
Từ giả thiết ta có: $n\vdots t$
$\Rightarrow \gcd(n,p-1)\vdots t$
Mà $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
$\Rightarrow t=1 \Rightarrow 2-1=1\vdots p$ (vô lý)
Vậy không tồn tại số thỏa mãn đề bài.

Ngoài ra mời em tham khảo thêm tại: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[7 1 2 5]

View attachment 213442
. . . . .

_Error404_7. Ta sẽ chứng minh $n \mid \varphi(n^n+1)$
Đặt $t=\text{ord}_{n^n+1}(n)$
Khi đó $n^n+1 \mid n^t-1 \Rightarrow t > n$
Mặt khác, $n^n+1 \mid n^{2n}-1$ nên $t=2n$.
Từ đó $n \mid 2n \mid \varphi(n^n+1)$ hay ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG