Toán 10 Chứng minh $n \mid (p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)$

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

7. Giả sử tất cả các ước nguyên tố của [imath]n^n+1[/imath] là [imath]p_1,p_2,...,p_k[/imath]. Chứng minh [imath]n \mid (p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)[/imath]
8. Tồn tại hay không [imath]n>1[/imath] sao cho [imath]n \mid 2^n-1[/imath]

 

[2712-0-3]

View attachment 213442
. . . . .

_Error404_Bài 8:
Giả sử tồn tại [imath]n\geq 2[/imath] thỏa mãn
Xét p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n.
Gọi [imath]t=ord_p(2)[/imath]
Theo định lý Fecma nhỏ, ta có: [imath]2^{p-1}-1\vdots p\Rightarrow p-1\vdots t[/imath]
Từ giả thiết ta có: [imath]n\vdots t[/imath]
[imath]\Rightarrow \gcd(n,p-1)\vdots t[/imath]
Mà [imath]p[/imath] là ước nguyên tố nhỏ nhất của [imath]n[/imath]
[imath]\Rightarrow t=1 \Rightarrow 2-1=1\vdots p[/imath] (vô lý)
Vậy không tồn tại số thỏa mãn đề bài.

Ngoài ra mời em tham khảo thêm tại: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[7 1 2 5]

View attachment 213442
. . . . .

_Error404_7. Ta sẽ chứng minh [imath]n \mid \varphi(n^n+1)[/imath]
Đặt [imath]t=\text{ord}_{n^n+1}(n)[/imath]
Khi đó [imath]n^n+1 \mid n^t-1 \Rightarrow t > n[/imath]
Mặt khác, [imath]n^n+1 \mid n^{2n}-1[/imath] nên [imath]t=2n[/imath].
Từ đó [imath]n \mid 2n \mid \varphi(n^n+1)[/imath] hay ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG