Toán 9 Chứng minh đẳng thức hình học

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ( O, R ) có hai dây không đi qua tâm AB, CD; AB vuông góc CD tại I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Chứng minh rằng:
a. OMIN là hình chữ nhật
b. [tex]AB^2+CD^2=4(2R^2-OI^2)[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

Cho ( O, R ) có hai dây không đi qua tâm AB, CD; AB vuông góc CD tại I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Chứng minh rằng:
a. OMIN là hình chữ nhật
b. [tex]AB^2+CD^2=4(2R^2-OI^2)[/tex]

Ta có: Đường trung trực của dây thì đi qua tâm.
=> $OM \perp AB$; $ON \perp CD$
=> $\widehat{OMI}=\widehat{ONI}=90^o$
Lại có $AB \perp CD$ tại I => $\widehat{MIN}=90^o$
=> OMIN là hcn
b) Xét tam giác OMB vuông tại M
=> $OM^{2}+MB^{2}=OB^{2}=R^{2}$
=> $MB^{2} = \frac{AB^{2}}{4} = R^{2}-IN^{2}$ (1)
Xét tam giác OCN vuông tại N
=> $ON^{2}+NC^{2}=OC^{2}=R^{2}$
=> $NC^{2}=\frac{CD^{2}}{4} = R^{2}-ON^{2}$ (2)
Lấy 1 cộng 2, cộng vế theo vế, ta được:
$\frac{AB^{2}+CD^{2}}{4} = 2R^{2} - (IN^{2}+ON^{2}) = 2R^{2} - OI^{2}$
=> $AB^{2}+CD^{2} = 4(2R^{2}-OI^{2})$ (đpcm)