Chứng minh các bất đẳng thức

[zuni_innashi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dùng đạo hàm giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho số tự nhiên [TEX]n \geq 3[/TEX].
Chứng minh: [TEX]sin^nx + cos^nx \geq 2^{\frac{2-n}{2}}[/TEX] , [TEX]\forall x \in (0;\frac{\pi}{2})[/TEX]

Bài 2: Cho a + b + c = 0. Chứng minh
[TEX]8^a + 8^b + 8^c \geq 2^a + 2^b + 2^c[/TEX]

Bài 3: Chứng minh [TEX]\forall n \in N; n \geq 3[/TEX]
ta có: [TEX]n^{n+1} \geq (n+1)^n[/TEX]

Bài 4: Chứng minh rằng [TEX]\forall x > y > 0[/TEX]
ta có: [TEX](2^x + 3^x)^y < (2^y + 3^y)^x[/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3: $n^{n+1} \ge (n+1)^{n}$

$\leftrightarrow \ln(n^{n+1}) \ge \ln((n+1)^{n})$

$\leftrightarrow (n+1).\ln(n) \ge n.\ln(n+1)$

$\leftrightarrow \dfrac{n+1}{\ln (n+1)} \ge \dfrac{n}{\ln(n)}$

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$ với $x\ge 3$

$f'(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{\ln^2(x)} > 0$

$\rightarrow f(x)$ đồng biến khi $x\ge 3$

$\rightarrow \dfrac{n+1}{\ln (n+1)} \ge \dfrac{n}{\ln(n)}$ là đúng

Vậy BDT đầu đúng.

Bài 4: Bất đẳng thức tương đương: $\dfrac{y}{\ln(2^{y} +3^{y})} < \dfrac{x}{\ln(2^{x}+3^{x})}$

Chứng minh $f(a)=\dfrac{a}{\ln(2^{a}+3^{a})}$ đồng biến.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2: Có thể dùng BDT Cauchy nhưng không thích =))

Xét hàm số $f(x)=8^x-2^x$

$f'(x)=8^{x}.\ln(8)-2^{x}.\ln(2)$

Tiếp tuyến tại $x=0$: $y=\ln(4).x$ và tiếp tuyến này không cắt $y=f(x)$ tại điểm thứ 2.

Tại $x=0; y=f(x)$ lõm.

$\rightarrow f(x) \ge \ln(4).x$ với $x\in \mathbb{R}$

Áp dụng vào $VT-VP=f(a)+f(b)+f(c) \ge \ln(4).(a+b+c)=0$

BDT được chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Xét hàm số $f(x)=\sin^{n}x+\cos^{n}x-2^{\dfrac{2-n}{2}}$

$f'(x)=n\cos x. \sin^{n-1}x -n\sin x.\cos^{n-1} x$

$f'(x)=0 \leftrightarrow \sin x = \cos x \leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}$

Lập bảng biến thiên kết hợp với điều kiện $n\ge 3$ cho ta $f(x) \ge f(\dfrac{\pi}{4})=0$

Vậy $\sin^{n}x+\cos^{n}x \ge 2^{\dfrac{2-n}{2}}$