Toán 10 Chứng minh BPT quy về bậc 2

[Mai Hải Đăng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số x,y thỏa $$x^2+y^2=1+xy$$. CMR
$$1/9 ≤x^4+y^4-x^2y^2≤3/2$$

 

[Sweetdream2202]

$$x^4+y^4-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2=(1+xy)^2-3x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1=f(xy)$$
theo điều kiện ban đầu: $$x^2+y^2\geq 2xy <=>1+xy\geq 2xy<=>xy\leq 1$$
$$x^2+y^2\geq -2xy<=>1+xy\geq -2xy<=>xy\geq -\frac{1}{3}$$
tìm min, max trên khoảng đó là được

 

[Mai Hải Đăng]

$$x^4+y^4-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2=(1+xy)^2-3x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1=f(xy)$$
theo điều kiện ban đầu: $$x^2+y^2\geq 2xy <=>1+xy\geq 2xy<=>xy\leq 1$$
$$x^2+y^2\geq -2xy<=>1+xy\geq -2xy<=>xy\geq -\frac{1}{3}$$
tìm min, max trên khoảng đó là được

bạn có thể ví dụ mẫu 1 cái được không, mình không biết cách phân tích tiếp theo

 

[Sweetdream2202]

max thì bạn tìm đc nha, nó là đỉnh của parabol. còn min, lập bảng biến thiên ta thấy $$f(xy)$$ đồng biến trên đoạn $$[-\frac{1}{3};\frac{1}{2}]$$ do đó min đạt tại $$xy=-\frac{1}{3}$$. thế vào được min là 1/9 nha