Toán 9 Chứng minh BĐT

[Cjafje]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương x,y,z , thỏa mãn [imath]\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = 1[/imath]

Chứng minh rằng :

[imath]\sqrt{\dfrac{xy}{x+y+2z}} + \sqrt{\dfrac{yz}{y+z+2x}} + \sqrt{\dfrac{ xz}{x+z+2y}} \le \dfrac{1}{2}[/imath]

Các bạn xem thêm kiến thức tại topic này nha

[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
Tổng hợp lý thuyết ôn thi HKII lớp 9 | Tổng hợp kiến thức cơ bản toán 9

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{\sqrt{xy}}{x+y+2z}[/tex] hay [tex]\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}[/tex] thế bạn??

 

[Cjafje]

[tex]\frac{\sqrt{xy}}{x+y+2z}[/tex] hay [tex]\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}[/tex] thế bạn??

cái thứ 2 nha

 

[7 1 2 5]

Đặt [tex](\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z})=(a,b,c)\Rightarrow a+b+c=1[/tex] Ta cần chứng minh [tex]\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}+\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2+2a^2}}+\frac{ca}{\sqrt{c^2+a^2+2b^2}} \leq \frac{1}{2}[/tex]
Ta có: [tex](1+1+2)(a^2+b^2+2c^2)\geq (a+b+2c)^2\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}=\frac{2ab}{4\sqrt{a^2+b^2+2c^2}}\leq \frac{2ab}{a+b+2c}[/tex]
Vì [tex]\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+b+2c}\Rightarrow \frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})\Rightarrow \frac{2ab}{a+b+2c}\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})[/tex]
Tương tự cộng vế theo vế ta có: [tex]VT\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c})=\frac{1}{2}(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(đpcm)[/tex]