Chứng minh BĐT

[quanhunter123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tại sao bt đổi ẩn a=x/y

Lời giải. Áp dụng BĐT AM-GM ta có $ (2ab+1)(ab+2) \le \dfrac{9(ab+1)^2}{4}$. Do đó
$$ \sum \dfrac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)} \ge \dfrac 49 \cdot \sum \dfrac{a^2}{(ab+1)^2}$$
Đặt $a= \dfrac xy, b =\dfrac yz, c= \dfrac zx$ thì ta có $ \sum \dfrac{a^2}{(ab+1)^2}= \sum \left[ \dfrac{xz}{y(x+z)} \right]^2$.
Ta cần chứng minh $ \sum \left[ \dfrac{xz}{y(x+z)} \right]^2 \ge \dfrac 34$.
Áp dụng BĐT $ x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$ ta có
$$ \sum \left[ \dfrac{xz}{y(x+z)} \right]^2 \ge \dfrac 13 \cdot \left[ \sum \dfrac{xz}{y(x+z)} \right]^2$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì $$ \sum \dfrac{zx}{y(x+z)}= \sum \dfrac{(zx)^2}{xyz(x+z)} \ge \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)} \ge \dfrac 32$$
Như vậy ta được $ \sum \left[ \dfrac{xz}{y(x+z)} \right]^2 \ge \dfrac 34$, ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.