Chứng minh BĐT

[piric]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 thỏa mãn: a^2 +b^2+c^2=3
CM: a^2.b+b^2.c+c^2.a \leq 3

 

[hoanghainam2907]

Ta có :a^2+b^2+c^2=3
\Rightarrow abc \leq 1
Đặt P=a^2.b+b^2.c+c^2.a
Không mất tính tổng quát
Giả sử trong 3 số a,b,c thì b nằm giữa a và c (a \leq b \leq c)
\Rightarrow b-a \geq 0
b-c \leq 0
\Rightarrow c(b-a)(b-c) \leq 0
\Leftrightarrow P - abc \leq a^2.b+b^2.c
\Rightarrow (P-abc)^2 \leq (a^2.b+b^2.c)^2=1/2.2.b^2.(a^2+c^2).(a^2+c^2)
\Leftrightarrow (P-abc)^2 \leq 1/2.((a^2+c^2+a^2+c^2+2.b^2)/3)^3
\Leftrightarrow (P-abc)^2 \leq 4 (Vì a^2+b^2+c^2=3)
\Leftrightarrow P-abc \leq 2
\Leftrightarrow P \leq 2+abc \leq 2+1=3
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Vậy:..............

 

[vinhtuy]

ssssssssssssss

Ta có :[TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow abc \leq 1[/TEX]
Đặt [TEX]P=a^2.b+b^2.c+c^2.a[/TEX]
Không mất tính tổng quát
Giả sử trong 3 số a,b,c thì b nằm giữa a và c [TEX](a \leq b \leq c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b-a \geq 0[/TEX]
[TEX]b-c \leq 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow c(b-a)(b-c) \leq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P - abc \leq a^2.b+b^2.c[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (P-abc)^2 \leq (a^2.b+b^2.c)^2=1/2.2.b^2.(a^2+c^2).(a^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (P-abc)^2 \leq 1/2.((a^2+c^2+a^2+c^2+2.b^2)/3)^3 [/TEX]
\Rightarrow $(P-abc)^2$ \leq $4$ vì $( a^2+b^2+c^2=3)$
[TEX]\Rightarrow P-abc \leq 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P \leq 2+abc \leq 2+1=3[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Vậy:..............

 

[chaizo1234567]

bài làm

BDT
\Leftrightarrow$2a^2b+2b^2c+2c^2a$\leq6
ta luôn có
$2a^2b$\leq$a^2+a^2b^2$
$2b^2c$\leq$b^2+c^2a^2$
$2c^2a$\leq$c^2+a^2c^2$
\Leftrightarrow$2a^2b+2b^2c+2c^2a$\leq$3+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
Mặt khác
$3(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)$\leq$(a^2+b^2+c^2)^2$
\Rightarrow$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$\leq3
\Rightarrow$2a^2b+2b^2c+2c^2a$\leq3+3
\RightarrowĐPCM
............