Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[Quan912]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cm:[tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{b+a}\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]. Cho em xin gợi ý bài này với ạ. Em cảm ơn

 

[Tiểu Bạch Lang]

Dùng BĐT Bunhiacopxki là ra nhé!
[tex]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Có chỗ nào không hiểu thì bạn hỏi lại nhé!

 

[Quan912]

Cho em hỏi bài này dùng bất đẳng thức cauchy đc đúng không ạ. Nếu được cho em xin cách giải với

 

[Blue Plus]

Cho em hỏi bài này dùng bất đẳng thức cauchy đc đúng không ạ. Nếu được cho em xin cách giải với

Dự đoán điểm rơi tại $a=b=c$. Bạn thêm và áp dụng BĐT Cauchy như này:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{b+c}\cdot \dfrac{b+c}{4}}=a$
Tương tự ta có: $\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}\ge b;\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c$
Cộng vế theo vế ta được:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{2(a+b+c)}{4}\ge a+b+c\\\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{a+b+c}2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Nếu bạn có thắc mắc cứ hỏi tại đây nhé, tụi mình sẽ hỗ trợ.