Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[Thôi Hàn Suất]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

.Cho a, b khác 0. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$$

 

[shalltear]

$$\frac{a^2}{b^2} + 1 \geq 2.\frac{a}{b}$$
$$\frac{b^2}{a^2} + 1 \geq 2.\frac{b}{a}$$
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$
Cộng 2 BĐT phía trên và áp dụng BĐT dưới là ra

 

[Hieupq03]

$$\frac{a^2}{b^2} + 1 \geq 2.\frac{a}{b}$$
$$\frac{b^2}{a^2} + 1 \geq 2.\frac{b}{a}$$
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$
Cộng 2 BĐT phía trên và áp dụng BĐT dưới là ra

cái t3 sao nó cauchy đc mình thấy nó chưa dương

 

[shalltear]

cái t3 sao nó cauchy đc mình thấy nó chưa dương

Nếu 1 trong 2 số a, b < 0 thì VT> 0 > VP :v, mình quên để ý.
Nếu a,b cùng dấu làm như phần phía trên @@
Bổ sung cái này vào bài phía trên nha

 

[Thôi Hàn Suất]

$$\frac{a^2}{b^2} + 1 \geq 2.\frac{a}{b}$$
$$\frac{b^2}{a^2} + 1 \geq 2.\frac{b}{a}$$
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$
Cộng 2 BĐT phía trên và áp dụng BĐT dưới là ra

Thế phải bỏ đi dòng thứ 3 hay giải thích thêm như chị nói ạ?

 

[shalltear]

Nếu 1 trong 2 số a, b < 0 thì VT> 0 > VP :v,
Nếu a,b cùng dấu làm như

$$\frac{a^2}{b^2} + 1 \geq 2.\frac{a}{b}$$
$$\frac{b^2}{a^2} + 1 \geq 2.\frac{b}{a}$$
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$
Cộng 2 BĐT phía trên và áp dụng BĐT dưới là ra

@@

Bài như thế này :v. em với tuphapthitran@gmail.com là 10T1 hủng

 

[Thôi Hàn Suất]

Bài như thế này :v. em với tuphapthitran@gmail.com là 10T1 hủng

Dạ em T2, còn Linh học A2 chị ạ ~

 

[dangtiendung1201]

.Cho a, b khác 0. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$$

Cái này có lẽ a,b>0
Áp dụng BĐT(B.C.S)
$${{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^{2}}\le 2(\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}})$$
Có
\[\begin{align}
& \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \\
& \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}\ge 2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0 \\
& {{(a-b)}^{2}}\ge 0 \\
\end{align}\] (luôn đúng)
Suy ra đpcm
Dấu bằng khi a=b khác 0

 

[Kaito Kidㅤ]

$$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\\\rightarrow \frac{a^4+b^4}{a^2b^2}\geq \frac{a^2+b^2}{ab}\\\rightarrow \frac{a^4+b^4}{a^2b^2}\geq \frac{ab(a^2+b^2)}{a^2b^2}\\\rightarrow \frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}\geq 0\\\rightarrow \frac{a^3(a-b)+b^3(b-a)}{a^2b^2}\geq 0\\\rightarrow \frac{(a^3-b^3)(a-b)}{a^2b^2}\geq 0\\\rightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)(a-b)^2}{a^2b^2}\geq 0$$
(luôn đúng ) @@

 

[shalltear]

Áp dụng BĐT(B.C.S)
$${{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^{2}}\le 2(\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}})$$
Có
\[\begin{align}
& \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \\
& \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}\ge 2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0 \\
& {{(a-b)}^{2}}\ge 0 \\
\end{align}\] (luôn đúng)
Suy ra đpcm
Dấu bằng khi a=b khác 0

ab cùng dấu thì mới nhân lên không đổi chiều nha :v, cũng không khác cách phía trên mấy

 

[Thôi Hàn Suất]

Cái này có lẽ a,b>0
Áp dụng BĐT(B.C.S)
$${{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})}^{2}}\le 2(\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}})$$
Có
\[\begin{align}
& \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \\
& \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}\ge 2 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0 \\
& {{(a-b)}^{2}}\ge 0 \\
\end{align}\] (luôn đúng)
Suy ra đpcm
Dấu bằng khi a=b khác 0

Chưa áp dụng bđt Cauchy đâu ạ, do a và b khác 0 chứ không lớn hơn 0