Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Vua sư tử (Leo)]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}= 1[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Chúc các bạn thành công

 

[trunghieule2807]

Từ giả thiết suy ra: [tex]a,b,c \epsilon (0;1)[/tex].
Bất đẳng thức tương đương với:
[tex]\frac{a^{2}}{a(1-a^{2})}+\frac{b^{2}}{b(1-b^{2})}+\frac{c^{2}}{c(1-c^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex].
Ta chứng minh: [tex]a(1-a^{2})\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}[/tex].
Thật vậy: [tex]a(1-a^{2})\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow 3\sqrt{3}a^{3}-3\sqrt{3}a+2\geq 0(1)[/tex]
Đặt [tex]a\sqrt{3}=t(t> 0)[/tex] thì (1) trở thành [tex]t^{3}-3t+2\geq 0\Leftrightarrow (t-1)^{2}(t+2)\geq 0[/tex], đúng với mọi [tex]t>0[/tex]. Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
Do đó:[tex]\frac{a^{2}}{a(1-a^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}[/tex]
Chứng minh tương tự ta có:
[tex]\frac{b^{2}}{b(1-b^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}b^{2}}{2}[/tex] và [tex]\frac{c^{2}}{c(1-c^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}c^{2}}{2}[/tex].
Suy ra:
[tex]\frac{a^{2}}{a(1-a^{2})}+\frac{b^{2}}{b(1-b^{2})}+\frac{c^{2}}{c(1-c^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]

 

[thanhbinh221]

ta có

<=>

=1
dấu bằng xảy ra khi:

hướng dẫn :bạn suy ra a=....:b=....;c=...
rồi thay vào BPT dưới sẽ suy ra được điều cần chứng minh ...... (dấu "=" xảy ra khi ...)
chúc bạn học tốt

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

ta có

<=>

=1
dấu bằng xảy ra khi:

hướng dẫn :bạn suy ra a=....:b=....;c=...
rồi thay vào BPT dưới sẽ suy ra được điều cần chứng minh ...... (dấu "=" xảy ra khi ...)
chúc bạn học tốt

Ngược dấu rồi nhé bạn!!.Bạn có thể xem lại ...