Chứng minh bất đẳng thức

Thảo luận trong 'Chuyên đề 10: Bất đẳng thức, tìm Min-Max' bắt đầu bởi trananhtuan_hn, 4 Tháng chín 2014.

Lượt xem: 506

  1. [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Cho a, b, c dương thoả mãn $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$.
    Chứng minh rằng: $\frac{1}{6a+1}+\frac{1}{6b+1}+\frac{1}{6c+1}\geq \frac{3}{7}$.
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng chín 2014
  2. qiana

    qiana Guest

    Xét điều kiện của a, b, c trước:
    \[\left\{ \begin{array}{l}
    a,b,c > 0\\
    \frac{1}{{2a + 1}} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{1}{{2c + 1}} \ge 1
    \end{array} \right.\]
    Xét hàm: $f(x) = \frac{1}{{2x + 1}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$
    \[f'(x) = \frac{{ - 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}} < 0\forall x\]
    $\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên tập đang xét
    \[\begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    \forall x > 1:f(x) < f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow f(a) + f(b) + f(c) < 3f(1) = 1(loai)\\
    \forall x \in \left( {0;1} \right]:f(x) \ge f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow f(a) + f(b) + f(c) \ge 3f(1) = 1(tm)
    \end{array} \right.\\
    \Rightarrow 0 < a,b,c \le 1
    \end{array}\]
    Xét bất đẳng thức cần cm:
    \[\frac{1}{{6a + 1}} + \frac{1}{{6b + 1}} + \frac{1}{{6c + 1}} \ge \frac{3}{7}\]
    Xét hàm số \[f(x) = \frac{1}{{6x + 1}},x \in \left( {0;1} \right]\]
    \[f'(x) = \frac{{ - 6}}{{{{(6x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in \left( {0;1} \right]\]
    $\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\left( {0;1} \right]$
    \[\begin{array}{l}
    \Rightarrow f(x) \ge f(1) = \frac{1}{7}\\
    \Rightarrow f(a) + f(b) + f(c) \ge 3f(1) = \frac{3}{7}\\
    \Rightarrow \frac{1}{{6a + 1}} + \frac{1}{{6b + 1}} + \frac{1}{{6c + 1}} \ge \frac{3}{7}
    \end{array}\]
    Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow a = b = c = 1\]
     
    Last edited by a moderator: 5 Tháng chín 2014
  3. Dấu bằng xảy ra a = b = c = 1 chứ? Còn cách nào khác không bạn?
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY