Cho a, b, c dương thoả mãn $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$.
Chứng minh rằng: $\frac{1}{6a+1}+\frac{1}{6b+1}+\frac{1}{6c+1}\geq \frac{3}{7}$.
Xét điều kiện của a, b, c trước:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
\frac{1}{{2a + 1}} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{1}{{2c + 1}} \ge 1
\end{array} \right.\]
Xét hàm: $f(x) = \frac{1}{{2x + 1}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$
\[f'(x) = \frac{{ - 2}}{{{{(2x + 1)}^2}}} < 0\forall x\]
$\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên tập đang xét
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\forall x > 1:f(x) < f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow f(a) + f(b) + f(c) < 3f(1) = 1(loai)\\
\forall x \in \left( {0;1} \right]:f(x) \ge f(1) = \frac{1}{3} \Rightarrow f(a) + f(b) + f(c) \ge 3f(1) = 1(tm)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 0 < a,b,c \le 1
\end{array}\]
Xét bất đẳng thức cần cm:
\[\frac{1}{{6a + 1}} + \frac{1}{{6b + 1}} + \frac{1}{{6c + 1}} \ge \frac{3}{7}\]
Xét hàm số \[f(x) = \frac{1}{{6x + 1}},x \in \left( {0;1} \right]\]
\[f'(x) = \frac{{ - 6}}{{{{(6x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in \left( {0;1} \right]\]
$\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $\left( {0;1} \right]$
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow f(x) \ge f(1) = \frac{1}{7}\\
\Rightarrow f(a) + f(b) + f(c) \ge 3f(1) = \frac{3}{7}\\
\Rightarrow \frac{1}{{6a + 1}} + \frac{1}{{6b + 1}} + \frac{1}{{6c + 1}} \ge \frac{3}{7}
\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra \[ \Leftrightarrow a = b = c = 1\]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn